Question

數(shù)列{a_n}中，a₁＞0，a₁≠1，又a_n+1=

2an

an+1

，n∈N^*．
（1）若a₁=

1

2

，求a₂，a₃，a₄，a₅的值，并歸納出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）是否存在常數(shù)p（p≠0），使得{1+

p

an

}為等比數(shù)列？若存在，求出其公比；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：等比關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式,歸納推理

專(zhuān)題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）根據(jù)a_n+1=

2an

an+1

，n∈N^*．a(chǎn)₁=

1

2

，求a₂，a₃，a₄，a₅的值，觀察各項(xiàng)分子通項(xiàng)為2^n-1，分母通項(xiàng)為2^n-1+1，于是可以寫(xiě)出通項(xiàng)公；
（2）假設(shè)存在常數(shù)p（p≠0），使得{1+

p

an

}為等比數(shù)列，公比為q，據(jù)此可以求出1+

p

2

+

p

2an

=q+

pq

an

，故能求出q和p的值．

解答： 解：（1）a₂=

2

3

，a₃=

4

5

，a₄=

8

9

，a₅=

16

17

，
歸納猜想a_n=

2n-1

2n-1+1

．
（2）假設(shè)存在常數(shù)p（p≠0），使得{1+

p

an

}為等比數(shù)列，公比為q，則有
 1+

p

an+1

=q（1+

p

an

），
因?yàn)閍_n+1=

2an

an+1

，所以1+

p (an+1)

2an

=q(1+

p

an

)，
化簡(jiǎn)得，1+

p

2

+

p

2an

=q+

pq

an

，
令

1+ p 2 =q p 2 =pq

，
解得p=-1，q=

1

2

，
經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，故存在p=-1，使得{1+

p

an

}為等比數(shù)列，公比為

1

2

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列遞推式和等差關(guān)系的確定等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握反證法和歸納法進(jìn)行數(shù)學(xué)解題，屬于中檔題．