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.已知定義在R上的二次函數滿足，且的最小值

為0，函數，又函數。

（I）求的單調區(qū)間；  （II）當≤時，若，求的最小值；

（III）若二次函數圖象過（4，2）點，對于給定的函數圖象上的點A（），

當時，探求函數圖象上是否存在點（）（），使、連線平行于軸，并說明理由。（參考數據：e=2.71828…）

 

 

 

【答案】

 

解：（I）

可得

又在時取得最小值0，

令

當變化時，，的變化情況如下表：

（0，）

（，＋）

＋

0

－

增函數

極大值

減函數

所以，的單調遞增區(qū)間是（0，），的單調遞減區(qū)間是（，＋）。

（II）≤時，≥1，

     時，的最小值為與中的較小者.

又

≤時，的最小值；

  當時，的最小值 

（III）證明：若二次函數圖象過點，則，所以

      令

      由（I）知在內單調遞增，

      故        

      取則

      所以存在

      即存在

所以函數圖象上存在點（）（），使、連線平行于軸

【解析】略

 

練習冊系列答案
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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在R上的二次函數f（x）=ax2-2bx+3
（1）如果a是集合{1，2，3，4}中的任一元素，b是集合{0，2，3}中的任一元素，試求函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調遞增的概率，
（2）如果a是從區(qū)間[1，4]上任取一個數，b是從區(qū)間[0，3]上任取一個數，試求函數f（x）在區(qū)間[1，+∞）上單調遞增的概率．

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在R上的二次函數R（x）=ax2+bx+c滿足2R（-x）-2R（x）=0，且R（x）的最小值為0，函數h（x）=lnx，又函數f（x）=h（x）-R（x）．
（I）求f（x）的單調區(qū)間；  
（II）當a≤
1
2
時，若x0∈[1，3]，求f（x0）的最小值；
（III）若二次函數R（x）圖象過（4，2）點，對于給定的函數f（x）圖象上的點A（x1，y1），當x1=
3
2
時，探求函數f（x）圖象上是否存在點B（x2，y2）（x2＞2），使A、B連線平行于x軸，并說明理由．（參考數據：e=2.71828…）

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科目：高中數學 來源： 題型：

已知定義在R上的二次函數R（x）=ax2+bx（a＞0）是偶函數，函數f（x）=2lnx-R（x）．
（I）求f（x）的單調區(qū)間；  
（II）當a≤1時，若x0∈[1，2]，求f（x0）的最大值；
（III）若二次函數R（x）圖象過（1，1）點，對于給定的函數f（x）圖象上的點A（x1，y1），當x1=
1e
時，探求函數f（x）圖象上是否存在點B（x2，y2）（x2＞1），使A、B連線平行于x軸，并說明理由．（參考數據：e=2.71828…）

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科目：高中數學 來源：2012屆山東省日照市高三上學期測評理科數學試卷 題型：解答題

已知定義在R上的二次函數滿足，且的最小值為0，函數，又函數。

（I）求的單調區(qū)間；

（II）當≤時，若，求的最小值；

（III）若二次函數圖象過（4，2）點，對于給定的函數圖象上的點A（），當時，探求函數圖象上是否存在點B（）（），使A、B連線平行于x軸，并說明理由。

（參考數據：e=2.71828…）

 

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