Question

5．定義在D上的函數(shù)f（x），如果滿足：對任意x∈D，存在常數(shù)M＞0，都有|f（x）|≤M成立，則稱f（x）是D上的有界函數(shù)，其中M稱為函數(shù)f（x）的上界．已知函數(shù)$f（x）=\frac{{1-m•{2^x}}}{{1+m•{2^x}}}$．
（1）若f（x）是奇函數(shù)，求m的值；
（2）當(dāng)m=1時，求函數(shù)f（x）在（-∞，0）上的值域，并判斷函數(shù)f（x）在（-∞，0）上是否為有界函數(shù)，請說明理由；
（3）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的函數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．
（2）根據(jù)分式函數(shù)的性質(zhì)以及有界函數(shù)的定義進(jìn)行求解判斷即可．
（3）根據(jù)函數(shù)的有界性建立不等式關(guān)系，利用不等式恒成立進(jìn)行求解即可．

解答 解：（1）由f（x）是奇函數(shù)，則f（-x）=-f（x）
得$\frac{{1-m•{2^{-x}}}}{{1+m•{2^{-x}}}}=-\frac{{1-m•{2^x}}}{{1+m•{2^x}}}$，即（1-m²）2^x=0，∴m²-1=0，m=±1．
（2）當(dāng)m=1時，$f（x）=\frac{{1-{2^x}}}{{1+{2^x}}}=\frac{2}{{1+{2^x}}}-1$．
∵x＜0，∴0＜2^x＜1，∴f（x）∈（0，1），滿足|f（x）|≤1．
∴f（x）在（-∞，0）上為有界函數(shù)．
（3）若函數(shù)f（x）在[0，1]上是以3為上界的有界函數(shù)，則有|f（x）|≤3在[0，1]上恒成立．
∴-3≤f（x）≤3，
即$-3≤\frac{{1-m•{2^x}}}{{1+m•{2^x}}}≤3$，
∴$\left\{\begin{array}{l}\frac{{1-m•{2^x}}}{{1+m•{2^x}}}-3≤0\\ \frac{{1-m•{2^x}}}{{1+m•{2^x}}}+3≥0\end{array}\right.$，化簡得：$\left\{\begin{array}{l}\frac{{m•{2^{x+2}}+2}}{{1+m•{2^x}}}≥0\\ \frac{{m•{2^{x+1}}+4}}{{1+m•{2^x}}}≥0\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}m＜-\frac{1}{2^x}或m≥-\frac{1}{{{2^{x+1}}}}\\ m≤-\frac{2}{2^x}或m＞-\frac{1}{2^x}\end{array}\right.$，
上面不等式組對一切x∈[0，1]都成立，
故$\left\{\begin{array}{l}m＜-1或m≥-\frac{1}{4}\\ m≤-2或m＞-\frac{1}{2}\end{array}\right.$，
∴$m≤-2或m≥-\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查函數(shù)奇偶性和值域的性質(zhì)以及不等式恒成立問題，根據(jù)函數(shù)有界性的定義建立不等式關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．