Question

已知函數(shù)f(x)=

2x2+x+a

x

（1）對(duì)任意的x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）對(duì)任意的x∈[1，+∞），f（x）的值域是[0，+∞），求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）對(duì)稱軸和閉區(qū)間都是固定的，就轉(zhuǎn)化為求函數(shù)f（x）在[1，+∞）上的最小值大于等于0的問題，可求a的取值范圍；
（2）先將函數(shù)化簡(jiǎn)，再對(duì)a進(jìn)行討論，從而利于基本不等式研究函數(shù)的最值，進(jìn)而得解．

解答：解：（1）由題意，

2x2+x+a

x

≥0 在x∈[1，+∞）上恒成立
即2x²+x+a≥0在x∈[1，+∞）上恒成立
由于函數(shù)g（x）=2x²+x+a在x∈[1，+∞）上單調(diào)遞增．
∴g（x）_min=g（1）=2+1+a≥0
∴a≥-3
（2）由題意有f(x)=2x+

a

x

+1
當(dāng)a≥0時(shí)，∵x≥1
∴f(x)=2x+

a

x

+1≥2

2a

+1與函數(shù)的值域是[0，+∞）矛盾；
當(dāng)a＜0時(shí)，f(x)=2x+

a

x

+1在x∈[1，+∞）上是一個(gè)增函數(shù)
∴f（x）_min=f（1）=2+a+1=0
∴a=-3

點(diǎn)評(píng)：求二次函數(shù)的最值問題，關(guān)于給定解析式的二次函數(shù)在不固定閉區(qū)間上的最值問題，一般是根據(jù)對(duì)稱軸和閉區(qū)間的位置關(guān)系來進(jìn)行分類討論，如軸在區(qū)間左邊，軸在區(qū)間右邊，軸在區(qū)間中間，最后在綜合歸納得出所需結(jié)論