Question

在平面直角坐標系xOy中，點A（5，0），對于某個正實數(shù)k，存在函數(shù)f（x）=ax²（a＞0），使得

OP

=λ•(

OA

| OA |

+

OQ

| OQ |

)（λ為常數(shù)），這里點P、Q的坐標分別為P（1，f（1）），Q（k，f（k）），則k的取值范圍為（　　）

A．（2，+∞）

B．（3，+∞）

C．[4，+∞）

D．[8，+∞）

Answer 1

分析：由題設知，向量

OP

=（1，a），

OA

=（5，0），

OQ

=（k，ak²），

OA

| OA |

=（1，0），

OQ

| OQ |

=（

1

1+a2k2

，

ak

1+a2k2

），由

OP

=λ•(

OA

| OA |

+

OQ

| OQ |

)，知1=λ（1+

1

1+a2k2

），a=

akλ

1+a2k2

，由此能求出k的范圍．

解答：解：由題設知，點P（1，a），Q（k，ak²），A（5，0），
∴向量

OP

=（1，a），

OA

=（5，0），

OQ

=（k，ak²），
∴

OA

| OA |

=（1，0），

OQ

| OQ |

=（

1

1+a2k2

，

ak

1+a2k2

），
∵

OP

=λ•(

OA

| OA |

+

OQ

| OQ |

)（λ為常數(shù)），．
∴1=λ（1+

1

1+a2k2

），a=

akλ

1+a2k2

，
兩式相除得，k-1=

1+a2k2

，
k-2=a²k＞0
∴k（1-a²）=2，且k＞2．
∴k=

2

1-a2

，且0＜1-a²＜1．
∴k=

2

1-a2

＞2．
故選A．

點評：本題考查平面向量的綜合運算，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．