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10.設(shè)O為銳角△ABC的外心,cos∠BAC=13,若AO=xAB+yAC,則x+y的最大值是( �。�
A.34B.43C.35D.45

分析 可先畫出圖形,連接AB中點和O,并設(shè)|AB|=c,|AC|=b,進行數(shù)量積運算便可得到AOAB=12c2AOAC=122,這樣根據(jù)條件在AO=xAB+yAC的兩邊分別乘以ABAC,進行數(shù)量積運算,并整理可得到,{12c=cx+13by12b=13cx+by,消元即可得出\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{16}-\frac{3}{16}•\frac{c}}\\{y=\frac{9}{16}-\frac{3}{16}•\frac{c}}\end{array}\right.,從而表示出x+y,根據(jù)基本不等式即可求出x+y的最大值.

解答 解:如圖,設(shè)|AB|=c,|AC|=b,則:AOAB=12c2AOAC=122;
又cos∠BAC=13,在AO=xAB+yAC的兩邊分別乘以ABAC得:
{12c2=c2x+13bcy122=13bcx+2y;
整理得,{12c=cx+13by12b=13cx+by,解得,\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{9}{16}-\frac{3}{16}•\frac{c}}\\{y=\frac{9}{16}-\frac{3}{16}•\frac{c}}\end{array}\right.;
x+y=98316c+c9838=34;
∴x+y的最大值為34
故選A.

點評 考查向量數(shù)量積的運算及計算公式,三角形的外心的概念,消元法解二元一次方程組,以及基本不等式求最值,不等式的性質(zhì).

練習冊系列答案
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