Question

在△ABC中，若sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB．
（1）求∠C的度數；
（2）在△ABC中，若角C所對的邊c=1，試求內切圓半徑r的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用和差化積和積化和差公式化簡sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB，解方程可求∠C的度數；
（2）由（1）知△ABC是直角三角形，可以表示出a、b，求內切圓半徑r的表達式，然后求其取值范圍．

解答：解：（1）∵sinC（cosA+cosB）=sinA+sinB，
∴2sinCcos

A+B

2

•cos

A-B

2

=2sin

A+B

2

•cos

A-B

2

．
在△ABC中，-

π

2

＜

A-B

2

＜

π

2

．
∴cos

A-B

2

≠0．∴2sin

C

2

cos²

C

2

=sin

C

2

，
cos

C

2

=

2

2

．
∵0＜C＜π，∴∠C=

π

2

．
（2）設Rt△ABC中，角A和角B的對邊分別是a、b，則有a=sinA，b=cosA．
∴△ABC的內切圓半徑
r=

1

2

（a+b-c）=

1

2

（sinA+cosA-1）
=

2

2

sin（A+

π

4

）-

1

2

≤

2 -1

2

．
∴△ABC內切圓半徑r的取值范圍是0＜r≤

2 -1

2

．

點評：本題考查和差化積和積化和差公式，三角函數的化簡求值，考查學生計算能力，是中檔題．