Question

為了降低能源損耗，某體育館的外墻需要建造隔熱層．體育館要建造可使用20年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元．該建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度（單位：cm）滿足關(guān)系：(，為常數(shù))，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．設(shè)為隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和．

（1）求的值及的表達(dá)式；

（2）隔熱層修建多厚時，總費用達(dá)到最��？并求出最小值．

 

Answer 1

（1）;（2）即隔熱層修建厚時，總費用達(dá)到最小，最小值為70萬元．

【解析】

試題分析：（1）由建筑物每年的能源消耗費用C（單位：萬元）與隔熱層厚度x（單位：cm）滿足關(guān)系： (0≤x≤10)，若不建隔熱層，每年能源消耗費用為8萬元．我們可得C（0）=8，得k=40，進(jìn)而得到C(x)＝．建造費用為C1（x）=6x，則根據(jù)隔熱層建造費用與20年的能源消耗費用之和為f（x），我們不難得到f（x）的表達(dá)式．

（2）由（1）中所求的f（x）的表達(dá)式，我們利用導(dǎo)數(shù)法，求出函數(shù)f（x）的單調(diào)性，然后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性易求出總費用f（x）的最小值．

（1）當(dāng)時，，， 2分

4分

（2）， 5分

設(shè)，.

當(dāng)且僅當(dāng)這時，因此的最小值為70.

即隔熱層修建厚時，總費用達(dá)到最小，最小值為70萬元． 8分

（本題亦可用導(dǎo)數(shù)求解）

考點：函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用；函數(shù)最值的應(yīng)用;利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．