Question

為改善行人過馬路難的問題，市政府決定在如圖所示的矩形區(qū)域ABCD（AB=60米，AD=104米）內(nèi)修建一座過街天橋，天橋的高GM與HN均為米，，AE，EG，HF，F(xiàn)C的造價均為每米1萬元，GH的造價為每米2萬元，設(shè)MN與AB所成的角為α（α∈[0，]），天橋的總造價（由AE，EG，GH，HF，F(xiàn)C五段構(gòu)成，GM與HN忽略不計）為W萬元．
（1）試用α表示GH的長；
（2）求W關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求W的最小值及相應(yīng)的角α．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定MP的值，再在Rt△NMT中，即可用α表示GH的長；
（2）利用AE，EG，HF，F(xiàn)C的造價均為每米1萬元，GH的造價為每米2萬元，即可求出W關(guān)于α的函數(shù)關(guān)系式；
（3）求導(dǎo)函數(shù)，確定函數(shù)的單調(diào)性，即可求出W的最小值及相應(yīng)的角α．
解答：解：（1）由題意可知∠MNP=α，故有MP=60tanα，所以在Rt△NMT中，…（6分）
（2）=
=．…（11分）
（3）設(shè)（其中，
則．
令f'（α）=0得1-2sinα=0，即，得．
列表

α
f'（α）	+		-
f（α）	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減

所以當(dāng)時有，此時有．
答：排管的最小費用為萬元，相應(yīng)的角．…（16分）
點評：本題考查函數(shù)模型的構(gòu)建，考查導(dǎo)數(shù)知識的運用，考查函數(shù)的最值，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．