Question

已知數(shù)列{a_n}，a_n＞0，前n項(xiàng)和Sn=

1

2

(an+

1

an

)．
（1）求a₁，a₂，a₃的值；
（2）猜想出通項(xiàng)a_n，并證明．

Answer 1

分析：（1）通過(guò)n=1，2，3分別求出求a₁，a₂，a₃的值；
（2）根據(jù)（1）的結(jié)果猜想通項(xiàng)a_n，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明的證明步驟，證明猜想，①是驗(yàn)證，n=1時(shí)，由上可知命題成立；②假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明n=k+1時(shí)也成立．

解答：解：（1）由已知得n=1時(shí)，a₁=1，n=2時(shí)a1+a2=

1

2

(a2+

1

a2

)，所以a2=

2

-1，n=3時(shí)，a1+a2+a3=

1

2

(a3+

1

a3

)解得，a3=

3

-

2

．
（2）猜想an=

n

-

n-1

（n∈N^*）．
證明：①當(dāng)n=1時(shí)，由上可知命題成立；
②假設(shè)n=k時(shí)命題成立，即ak=

k

-

k-1

成立．
由Sk+1=

1

2

(ak+1+

1

ak+1

)=Sk+ak+1=

1

2

(ak+

1

ak

)+ak+1得

1

ak+1

-ak+1=ak+

1

ak

．
代入假設(shè)，得

a

2 k+1

+2

k

ak+1-1=0，
∴ak+1=-

k

±

k+1

．
∵a_k+1＞0，
∴ak+1=

k+1

-

k

．
∴n=k+1時(shí)也成立．
綜合①②知an=

n

-

n-1

對(duì)任意n∈N^*都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列的遞推關(guān)系，求出數(shù)列的前幾項(xiàng)，利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的正確性，考查邏輯推理能力．