Question

設(shè)函數(shù)，曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y=3，
（Ⅰ）求f（x）的解析式；
（Ⅱ）證明：函數(shù)y=f（x）的圖像是一個中心對稱圖形，并求其對稱中心；
（Ⅲ）證明：曲線y=f（x）上任一點的切線與直線x=1和直線y=x所圍三角形的面積為定值，并求出此定值。

Answer 1

（Ⅰ）解：，
于是，
因a，b∈Z，
故；
（Ⅱ）證明：已知函數(shù)都是奇函數(shù)，
所以函數(shù)也是奇函數(shù)，其圖像是以原點為中心的中心對稱圖形，
而，
可知，函數(shù)g（x）的圖像按向量平移，即得到函數(shù)f（x）的圖像，
故函數(shù)f（x）的圖像是以點（1，1）為中心的中心對稱圖形；
（Ⅲ）證明：在曲線上任取一點，
由知，
過此點的切線方程為，
令x=1得，切線與直線x=1交點為；
令y=x得，切線與直線y=x交點為；
直線x=1與直線y=x的交點為（1，1），
從而所圍三角形的面積為；
所以，所圍三角形的面積為定值2。