Question

已知曲線C的方程是y=x²-2x+2．
（1）求曲線C關于點（-2，1）對稱的曲線C₁的方程；
（2）求曲線C關于直線x-y-3=0對稱的曲線C₂的方程．

Answer 1

考點：二次函數的性質

專題：函數的性質及應用

分析：（1）在曲線C₁的上任意取一點A（x，y），則點A關于點（-2，1）對稱的點B（-4-x，2-y）在曲線C：y=x²-2x+2上，求得曲線C₁的方程．
（2）在曲線C₂上任意取一點M（x，y），設點M關于直線x-y-3=0的對稱點為N（a，b），利用垂直、和中點在對稱軸上這兩個條件求得點N的坐標，再把點N的坐標代入曲線C的方程化簡可得曲線C₂的方程．

解答： 解：（1）在曲線C₁的上任意取一點A（x，y），則點A關于點（-2，1）對稱的點B（-4-x，2-y）在曲線C：y=x²-2x+2上，
故有2-y=（-4-x）²-2（-4-x）+2，即 y=-x² -16x-24．
（2）在曲線C₂上任意取一點M（x，y），設點M關于直線x-y-3=0的對稱點為N（a，b），則由題意可得點N在在曲線C：y=x²-2x+2上．
由

b-y a-x ×1=-1 a+x 2 - b+y 2 -3=0

，求得

a=y+3 b=x-3

，故N（y+3，x-3），把點N的坐標代入曲線C：y=x²-2x+2，可得x-3=（y+3）²-2（y+3）+2，
化簡可得 x-y²-4y-8=0．

點評：本題主要考查求一個點關于某個點或某直線的對稱點的坐標的方法，求點的軌跡方程，屬于基礎題．