Question

19．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1+x}{1-x}$•e^-ax（a＞0）．
（1）當(dāng)a=2時，求曲線y=f（x）在x=$\frac{1}{2}$處的切線方程；
（2）討論方程f（x）-1=0根的個數(shù)．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=2時，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可．
（2）由f（x）-1=0得f（x）=1，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f′（x），判斷函數(shù)的單調(diào)性，利用函數(shù)單調(diào)性和最值之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=2時，f（x）=$\frac{1+x}{1-x}$•e^-2x．f（$\frac{1}{2}$）=3e^-1，
又f′（x）=$\frac{2{x}^{2}}{（1-x）^{2}}$•e^-2x，∴f′（$\frac{1}{2}$）=2e^-1，
故所求切線方程為y-3e^-1=2e^-1（x-$\frac{1}{2}$），即y=$\frac{2}{e}$x+$\frac{2}{e}$．（4分）
（Ⅱ）方程f（x）-1=0即f（x）=1．
f（x）的定義域?yàn)椋?∞，1）∪（1，+∞），
當(dāng)x＜-1或x＞1時，易知f（x）＜0，故方程f（x）=1無解；（6分）
故只需考慮-1≤x≤1的情況，
f′（x）=$\frac{a{x}^{2}+2-a}{（1-x）^{2}}$•e^-2x，
當(dāng)＜a≤2時，f′（x）≥0，所以f（x）區(qū)間[-1，1）上是增函數(shù)，又易知f（0）=1，
所以方程f（x）=1只有一個根0；（8分）
當(dāng)a＞2時，由f′（x）=0可得x=±$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$，且0＜$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$＜1，
由f′（x）＞0可得-1≤x＜-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$或$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$＜x＜1，
由f′（x）＜0可得-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$＜x＜$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$，
所以f（x）單調(diào)增區(qū)間為[-1，-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$）和（$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$，1）上是增函數(shù)，
f（x）單調(diào)減區(qū)間為（-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$，$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$），
由上可知f（$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$）＜f（0）＜f（-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$），即f（$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$）＜1＜f（-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$），
在區(qū)間（-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$，$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$）上f（x）單調(diào)遞減，且f（0）=1，
所以方程f（x）=1有唯一的根x=0；
在 區(qū)間[-1，-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$）上f（x）單調(diào)遞增，且f（-1）=0＜1，f（-$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$）＞1，
所以方程f（x）=1存在唯一的根0
在區(qū)間（$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$，1）上，由f（$\sqrt{\frac{a-2}{a}}$）＜1，x→1時，f（x）→+∞，
所以方程f（x）=1有唯一的根；
綜上所述：當(dāng)0＜a≤2時，方程f（x）=1有1個根；
當(dāng)a＞2時，方程f（x）=1有3個根．（12分）

點(diǎn)評 本題主要考查函數(shù)的切線的求解以及方程根的個數(shù)的判斷，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，難度較大．