Question

7．設(shè)p、q均為實數(shù)，若sinα、cosα分別是關(guān)于x的方程x²+px+q=0的兩個實根，則p+q的最小值為-1．

Answer 1

分析 利用韋達定理，結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系，可得：q=$\frac{{p}^{2}-1}{2}$，從而可求q+p=$\frac{1}{2}$（p+1）²-1，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵sinα與cosα是關(guān)于x的方程x²+px+q=0的兩根，
∴sinα+cosα=-p，sinαcosα=q，
∴（sinα+cosα）²=（-p）²，
即1+2sinαcosα=p²，可得：q=$\frac{{p}^{2}-1}{2}$，
∴q+p=$\frac{{p}^{2}-1}{2}$+p=$\frac{1}{2}$p²+p-$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$（p+1）²-1，
∴當(dāng)p=-1時，p+q的最小值為-1．
故答案為：-1．

點評 本題考查三角函數(shù)的求值，考查韋達定理的運用，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．