Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為2，點E為A₁A的中點．
（Ⅰ）求C₁D與平面EDB所成角的大��；
（Ⅱ）C₁到平面EDB的距離．

Answer 1

分析：先建立如下圖所示坐標(biāo)系，并求出對應(yīng)各點的坐標(biāo)以及對應(yīng)向量的坐標(biāo)．
（Ⅰ）先設(shè)出平面EDB的法向量，并求出結(jié)果，再代入利用向量求直線和平面所成角的公式即可求C₁D與平面EDB所成角的大��；
（Ⅱ）直接根據(jù)第一問的結(jié)論以及C₁到平面EDB的距離與所求角之間的關(guān)系即可求出結(jié)果．

解答：解：建立如圖所示坐標(biāo)系．
則B（0，0，0），C（2，0，0），D（2，-2，0），A（0，-2，0），E（0，-2，1），C₁（2，0，2）．
所以

C1D

=（0，-2，-2）.

BE

=（0，-2，1），

ED

=（2，0，-1），

BD

=（2，-2，0）．
（Ⅰ）：設(shè)平面BDE的法向量

n

=（1，x，y）．
則有

BE • n =0 BD • n =0

?

-2x+y=0 2-2x=0

?

x=1 y=2

．
∴

n

=（1，1，2）．
設(shè)C₁與平面BDE所成角為θ．
則sinθ=|cos＜

C1D

，

n

＞|=

| C1D • n |

| C1D |•| n |

=

3×2

2 ×2× 6

=

3

2

所以θ=60°，即C₁D與平面EDB所成角為60⁰．
（Ⅱ）：設(shè)點C₁到平面BDE的距離為h．
則由sinθ=

h

|C1D|

=

h

2 ×2

．
得h=2×

2

×

3

2

=

6

．
即C₁到平面EDB的距離為

6

．

點評：本題主要考查直線與平面所成角的問題．利用向量坐標(biāo)解決立體幾何中的平行，垂直，求角，距離等問題，關(guān)鍵是建立正確的空間直角坐標(biāo)系，難點是正確表示已知點的坐標(biāo)．