Question

若不等式2x≥log_ax對(duì)任意的x＞0都成立，則正實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A．[e^e，+∞）
B．[，+∞）
C．[e^2e，+∞）
D．[，+∞）

Answer 1

【答案】分析：由題意可得a＞1，令F（x）=2x-log_ax，利用導(dǎo)數(shù)求得F（x）的最小值為 F（），由F（）≥0，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求得正實(shí)數(shù)a的取值范圍．
解答：解：由于不等式2x≥log_ax對(duì)任意的x＞0都成立，∴a＞1．
令F（x）=2x-log_ax，則 F′（x）=2-，令 F′（x）=0 求得x=．
在區(qū)間（0，）上，F(xiàn)′（x）＜0，F(xiàn)（x）是減函數(shù)．
在區(qū)間（，+∞）上，F(xiàn)′（x）＞0，F(xiàn)（x）是增函數(shù)．
故F（x）的最小值為 F（）=-≥0，即 ≥-，即≥-，即 ln（2lna）≥-1．
∴2lna≥，即 lna²≥ln，∴a²≥，a≥=．
故正實(shí)數(shù)a的取值范圍是[，+∞），
故選 B．
點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，屬于中檔題．