Question

數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，a₁=1，a_n+1=2S_n，數(shù)列{b_n}中，b₁=0，且b_n+1-b_n=2n，C_n=

bn

n•an

．
（1）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）證明：數(shù)列{C_n}的前n的和S_n滿足0≤S_n＜

9

8

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）利用等比數(shù)列的定義可知數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，即可求得a_n，由累加法可求得b_n；
（2）利用錯(cuò)位相減法求和即可得證．

解答： 解：（1）a_n+1=2S_n①
n≥2時(shí)，a_n=2s_n-1②
①-②得，a_n+1-a_n=2a_n，即

an+1

an

=3，
∴數(shù)列{a_n}是首項(xiàng)為1，公比是3的等比數(shù)列，
∴a_n=3^n-1，
∵b_n+1-b_n=2n，
∴b_n=b₁+（b₂-b₁）+（b₃-b₂）+…+（b_n-b_n-1）=0+2+4+6+…+2（n-1）=

n(2n-1)

2

=n（n-1）．
（2）C_n=

bn

n•an

=

n-1

3n-1

，
∴s_n=

0

30

+

1

31

+

2

32

+…+

n-1

3n-1

，

1

3

s_n=

0

31

+

1

32

+…+

n-2

3n-1

+

n-1

3n

，
兩式作差得

2

3

sn=

1

31

+

1

32

+…+

1

3n-1

-

n-1

3n

=

1 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

-

n-1

3n

=

1

2

（1-

1

3n-1

）-

n-1

3n

，
∴s_n=

3

4

-

2n+1

4•3n-1

．
∴0≤S_n＜

9

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，考查錯(cuò)位相減求和及考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力，屬于中檔題．