Question

7．下列命題：
①若$α+β=\frac{7π}{4}$，則（1-tanα）•（1-tanβ）=2；
②已知$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow$=（2，λ），且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為銳角，則實數(shù)λ的取值范圍是λ＜1；
③已知O是平面上一定點，A，B，C是平面上不共線的三個點，動點P滿足$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，λ∈（0，+∞），則P的軌跡一定通過△ABC的重心；
④在△ABC中，∠A=60°，邊長a，c分別為$a=4，c=3\sqrt{3}$，則△ABC只有一解；
⑤如果△ABC內接于半徑為R的圓，且$2R（{sin^2}A-{sin^2}C）=（\sqrt{2}a-b）sinB$，則△ABC的面積的最大值$\frac{{\sqrt{2}+1}}{2}{R^2}$；
其中真命題的序號為①③⑤．

Answer 1

分析 ①利用兩角和差的正切公式進行化簡即可，
②根據(jù)向量數(shù)量積與三角形夾角的關系進行判斷，
③根據(jù)三角形重心的定義以及向量的基本運算進行判斷，
④根據(jù)正弦定理進行判斷，
⑤根據(jù)正弦定理，余弦定理以及三角形的面積公式進行判斷即可．

解答 解：①若$α+β=\frac{7π}{4}$，則tan（α+β）=$\frac{tanα+tanβ}{1-tanαtanβ}$=-1，
即tanα+tanβ=tanα+tanβ-1，
則（1-tanα）•（1-tanβ）=1-（tanα+tanβ）+tanαtanβ=1-tanαtanβ+1+tanαtanβ=2；故①正確，
②已知$\overrightarrow{a}$=（1，-2），$\overrightarrow$=（2，λ），且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為銳角，則$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$=2-2λ＜0，則λ＜1，
當$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$同向共線時，滿足$\frac{2}{1}=\frac{λ}{-2}$，則λ=-4，則$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為銳角，則的實數(shù)λ的取值范圍是λ＜1且λ≠-4；故②錯誤，
③設BC的中點為D，則AD為△ABC中BC邊上的中線，
∴$\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OA}+λ（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$=$\overrightarrow{OA}+2λ\overrightarrow{AD}$，
∴$\overrightarrow{AP}=2λ\overrightarrow{AD}$
∴P、A、D三點共線
∴P的軌跡一定通過△ABC的重心，故③正確，
④在△ABC中，∠A=60°，邊長a，c分別為$a=4，c=3\sqrt{3}$，
則$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，即sinC=$\frac{csinA}{a}$=$\frac{3\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}{4}=\frac{9}{8}$＞1，此時sinC不垂直，即△ABC沒有解；故④錯誤，
⑤∵2R（sin²A-sin²C）=（$\sqrt{2}$a-b）sinB，∴根據(jù)正弦定理，得a²-c²=（$\sqrt{2}$a-b）b=$\sqrt{2}$ab-b²，
可得a²+b²-c²=$\sqrt{2}$ab
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{2}ab}{2ab}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵角C為三角形的內角，∴角C的大小為$\frac{π}{4}$
∵c=2Rsin$\frac{π}{4}$=$\sqrt{2}$R
∴由余弦定理c²=a²+b²-2a•bcosC，可得
2R²=a²+b²-$\sqrt{2}$a•b≥2ab-$\sqrt{2}$ab=（2-$\sqrt{2}$）ab，當且僅當a=b時等號成立
∴ab≤$\frac{2{R}^{2}}{2-\sqrt{2}}$=（$2+\sqrt{2}$）R²
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC≤$\frac{1}{2}$•（$2+\sqrt{2}$）R²•$\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$R²
即△ABC面積的最大值為$\frac{1+\sqrt{2}}{2}$R²；故⑤正確，
故答案為：①③⑤

點評 本題主要考查命題的真假判斷，涉及兩角和差的正切公式，向量的數(shù)量積以及基本運算，正弦定理和余弦定理的應用，綜合性較強，難度較大．