Question

12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，x軸在地平面上，y軸垂直于地面，x軸、y軸上的單位長(zhǎng)度都為1km，某炮位于坐標(biāo)原點(diǎn)處，炮彈發(fā)射后，其路徑為拋物線y=kx-$\frac{1}{20}（1+{k^2}）{x^2}$的一部分，其中k與炮彈的發(fā)射角有關(guān)且k＞0．
（1）當(dāng)k=1時(shí)，求炮彈的射程；
（2）對(duì)任意正數(shù)k，求炮彈能擊中的飛行物的高度h的取值范圍；
（3）設(shè)一飛行物（忽略大小）的高度為4km，試求它的橫坐標(biāo)a不超過(guò)多少km時(shí)，炮彈可以擊中它．（答案精確到0.1，$\sqrt{5}$取2.236）

Answer 1

分析 （1）當(dāng)k=1時(shí)，炮彈發(fā)射路徑為$y=x-\frac{1}{10}{x^2}$，求出函數(shù)的零點(diǎn)，可得答案；
（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出最大高度的表達(dá)式，利用配方法可得h的取值范圍；
（3）炮彈可以擊中目標(biāo)可化為：關(guān)于k的方程a²k²-20ak+a²+80=0有正解，由韋達(dá)定理，可得a的范圍．

解答 解：（1）當(dāng)k=1時(shí)，
炮彈發(fā)射路徑為$y=x-\frac{1}{10}{x^2}$，
令y=0，解得x=0或10，
∴炮彈的射程為10km．…（4分）
（2）拋物線$y=kx-\frac{1}{20}（1+{k^2}）{x^2}（k＞0）$開(kāi)口向下，
對(duì)稱軸$x=-\frac{k}{{-\frac{1}{10}（1+{k^2}）}}=\frac{10k}{{1+{k^2}}}$，
∴${y_{max}}=-\frac{1}{20}（1+{k^2}）{（\frac{10k}{{1+{k^2}}}）^2}+k（\frac{10k}{{1+{k^2}}}）=\frac{{5{k^2}}}{{1+{k^2}}}=5-\frac{5}{{1+{k^2}}}＜5$，
∴炮彈能擊中的飛行物的高度h的范圍是（0，5）．                         …（9分）
（3）∵飛行物的高度為4km，它的橫坐標(biāo)a，
∴$4=ka-\frac{1}{20}（1+{k^2}）{a^2}$，
整理得關(guān)于k的方程a²k²-20ak+a²+80=0有正解，…（11分）
顯然a=0不滿足方程a²k²-20ak+a²+80=0，
∴${k_1}+{k_2}=\frac{20}{a}$，${k_1}{k_2}=\frac{{{a^2}+80}}{a^2}＞0$，
當(dāng)a＜0，k₁，k₂＜0，不符題意，
∴a＞0，k₁，k₂＞0…（13分）
∴△=400a²-4a²（a²+80）≥0，解得$0＜a≤2\sqrt{5}$，
∴飛行物的橫坐標(biāo)a不超過(guò)$2\sqrt{5}$km，約4.5km．                       …（16分）
（說(shuō)明：過(guò)程不嚴(yán)密的適當(dāng)扣分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，是解答的關(guān)鍵．