Question

已知函數(shù)f(x)＝ax³＋bx²＋cx(a≠0，x∈R)為奇函數(shù)，且f(x)在x＝1處取得極大值2．

(1)求函數(shù)y＝f(x)的解析式；

(2)記，求函數(shù)y＝g(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)k＝2時(shí)，若函數(shù)y＝g(x)的圖象在直線y＝x＋m的下方，求m的取值范圍．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)∵f(x)＝ax3＋bx2＋cx(a≠0)為奇函數(shù)，∴f(－x)＝－f(x)，代入得，b＝0 　　∴(x)＝3ax2＋c，且f(x)在x＝1取得極大值2． 　　解得a＝－1，c＝3， 　　∴f(x)＝－x3＋3x．　4分 　　(2) 　　因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?0，＋Ω)，所以 　　①當(dāng)k＝－1時(shí)，g′(x)＝－2x＜0，函數(shù)在(0，＋∞)單調(diào)遞減； 　�、诋�(dāng)k＜－1時(shí)，k＋1＜0，∵x＞0， 　　∴函數(shù)在(0，＋∞)上單調(diào)遞減； 　�、郛�(dāng)k＞－1時(shí)，k＋1＞0，令g′(x)＞0，得 　　結(jié)合x＞0，得 　　令(x)＜0，得同上得 　　∴k＞－1時(shí)，單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為 　　綜上，當(dāng)k≤－1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0，＋∞)，無(wú)單調(diào)遞增區(qū)間； 　　當(dāng)k＞－1時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為單調(diào)遞減區(qū)間為　9分 　　(3)當(dāng)k＝2時(shí)，g(x)＝－x2＋3＋3lnx， 　　令h(x)＝g(x)－(x＋m)＝－x2－x＋3lnx＋3－m， 　　 　　又函數(shù)y＝h(x)的定義域?yàn)?0，＋∞)，則當(dāng)0＜x＜1時(shí)，(x)＞0，當(dāng)x＞1時(shí)h′(x)＜0， 　　∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)h(x)取得最大值1－m，故m的取值范圍是(1，＋∞)． 　　答[1，＋∞)也正確．　13分