【答案】
分析:(Ⅰ)因為函數(shù)為偶函數(shù),所以f(x)=f(-x).x∈[-1,0]時,
得到x∈[0,1]時得到f(x)的解析式,并討論a的取值利用二次函數(shù)求最值的方法求出最值即可;
(Ⅱ)化簡g(x),要證g(x)的圖象恒在直線y=e上方即就是要證g
min(x)>e成立,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)增減性得到函數(shù)的最小值,讓其大于e,求出a的范圍即可.
解答:解:(Ⅰ)任取x∈[0,1],
,
又f(x)是偶函數(shù),故x∈[0,1]時,f(x)=f(-x)=e
2x-ae
x.
由f(x)是定義域為[-1,1]的偶函數(shù)可知,f(x)在x∈[0,1]的最大值即可為f(x)的最大值.
當x∈[0,1]時,
;
;
綜上可知:
a≤e+1時,f
max(x)=f(1)=e
2-ae;a>e+1時,f
max(x)=f(0)=1-a.
(Ⅱ)
=
=
要x∈[0,1]時,函數(shù)g(x)的圖象恒在直線y=e上方,
即x∈[0,1]時,g
min(x)>e成立,
g′(x)f'(x)=(x+a+3)(x-1)e
x,令g′(x)=0,解得x
1=-a-3,x
2=1
①當-a-3≤0,即a≥-3且a≠0時,可得x∈[0,1]時g′(x)≤0,故g(x)在區(qū)間[0,1]單調(diào)遞減.
此時g
min(x)=g(1)=(-2-a)e>e⇒a<-3,與a≥-3且a≠0矛盾.
②當0<-a-3<1,即-4<a<-3時,可得x∈[0,-a-3]時,g′(x)≥0,x∈[-a-3,1]時g′(x)≤0,可知f(x)在區(qū)間[0,-a-3]單調(diào)遞增.在區(qū)間[-a-3,1]單調(diào)遞減.
此時g
min(x)>e?g(0)>e,且g(1)>e,
故-4<a<-3時可滿足題意;
③-a-3≥1,即a≤-4時,可得x∈[0,1]時g′(x)≥0,可知g(x)在區(qū)間[0,1]單調(diào)遞增.
此時
綜上可知:a<-3時,g(x)的圖象恒在直線y=e上方.
點評:考查學生利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)最值的能力,以及單調(diào)性與奇偶性的綜合應(yīng)用能力,理解不等式恒成立的條件.