Question

已知x，y，z為正數，滿足x²+y²+z²=1，則S=

1+z

2xyz

的最小值為

4

．

Answer 1

分析：由題意可得1-z²=x²+y²≥2xy，從而有

1+z

2xy

≥1-z，由基本不等式可得，

1+z

2xyz

≥z(1-z)≥4可求

解答：解：由題意可得，0＜z＜1，0＜1-z＜1
∴z（1-z）≤(

z+1-z

2

)2=

1

4

（當且僅當z=1-z即z=

1

2

時取等號）
∵x²+y²+z²=1
∴1-z²=x²+y²≥2xy（當且僅當x=y時取等號）
∴

1-z2

2xy

≥1即

(1-z)(1+z)

2xy

≥1
∵1-z＞0
∴

1+z

2xy

≥

1

1-z

∴

1+z

2xyz

≥

1

z(1-z)

≥4（當且僅當x=y=

6

4

，z=

1

2

時取等號）
則S=

1+z

2xyz

的最小值4
故答案為：4

點評：本小題主要考查基本不等式的應用、配湊法等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉化思想．屬于基礎題．