Question

16．若數(shù)列{a_n}滿足a₂-a₁＞a₃-a₂＞a₄-a₃＞…＞a_n+1-a_n＞…，則稱數(shù)列{a_n}為“差遞減”數(shù)列，若數(shù)列{a_n}是“差遞減”數(shù)列，且其通項(xiàng)a_n與其前n項(xiàng)和S_n（n∈N^*）滿足2S_n=3a_n+2λ-1（n∈N^*），則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是$λ＞\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 2S_n=3a_n+2λ-1（n∈N^*），n=1時(shí)，2a₁=3a₁+2λ-1，解得a₁=1-2λ．n≥2時(shí)，可得：a_n=3a_n-1．利用a₂-a₁＞a₃-a₂＞a₄-a₃＞…，即可得出．

解答 解：∵2S_n=3a_n+2λ-1（n∈N^*），
∴n=1時(shí)，2a₁=3a₁+2λ-1，解得a₁=1-2λ．
n≥2時(shí)，2a_n=3a_n-3a_n-1，化為a_n=3a_n-1．
同理可得：a₂=3（1-2λ），a₃=9（1-2λ），a₄=27（1-2λ）．
∴a₂-a₁=2（1-2λ），a₃-a₂=6（1-2λ），a₄-a₃=18（1-2λ），
∵a₂-a₁＞a₃-a₂＞a₄-a₃＞…，
∴2（1-2λ）＞6（1-2λ）＞18（1-2λ），
解得：$λ＞\frac{1}{2}$．
則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是$λ＞\frac{1}{2}$．
故答案為：$λ＞\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了遞推關(guān)系、不等式的解法、新定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．