Question

在正三角形ABC中，E、F、P分別是AB、AC、BC邊上的點，滿足AE：EB=CF：FA=CP：PB=1：2（如圖1）．將△AEF沿EF折起到△A₁EF的位置，使二面角A₁-EF-B成直二面角，連結(jié)A₁B、A₁P（如圖2）
（1）求證：A₁E⊥平面BEP
（2）求直線A₁E與平面A₁BP所成角的大�。�
（3）求二面角B-A₁P-F的余弦值．

Answer 1

考點：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間角

分析：（1）設(shè)正三角形ABC的邊長為 3．在圖1中，取BE的中點D，連結(jié)DF．由已知條件推導出△ADF是正三角形，從而得到EF⊥AD．在圖2中，推導出∠A₁EB為二面角A₁-EF-B的平面角，且A₁E⊥BE．由此能證明A₁E⊥平面BEP．
（2）建立分別以EB、EF、EA為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標系，利用向量法能求出直線A₁E與平面A₁BP所成的角的大�。�
（3）分別求出平面A₁FP的法向量和平面BA₁F的法向量，利用向量法能求出二面角B-A₁P-F的余弦值．

解答： （1）證明：不妨設(shè)正三角形ABC 的邊長為3．

在圖1中，取BE的中點D，連結(jié)DF．
∵AE：EB=CF：FA=1：2，∴AF=AD=2，而∠A=60度，
∴△ADF是正三角形，又AE=DE=1，∴EF⊥AD．
在圖2中，A₁E⊥EF，BE⊥EF，∴∠A₁EB為二面角A₁-EF-B的平面角．
由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，∴A₁E⊥BE．
又BE∩EF=E，∴A₁E⊥平面BEF，即A₁E⊥平面BEP．
（2）建立分別以EB、EF、EA為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標系，
則E（0，0，0），A（0，0，1），
B（2，0，0），F(xiàn)（0，

3

，0），P （1，

3

，0），則

AE

=(0，0，-1)，

AB

=(2，0，-1)，

BP

=(-1，

3

，0)．
設(shè)平面ABP的法向量為

n1

=(x1，y1，z1)，
由

n1

⊥平面ABP知，

n1

⊥

AB

，

n1

⊥

BP

，即

2x1-z1=0 -x1+ 3 y1=0.

令x1=

3

，得y1=1，z1=2

3

，

n1

=(

3

，1，2

3

)．cos＜

AE

，

n1

＞=

AE • n1

| AE |•| n1 |

=

3 ×0+1×0+2 3 ×(-1)

( 3 )2+12+(2 3 )2 • 02+02+(-1)2

=-

3

2

，＜

AE

，

n1

＞=120°，
∴直線A₁E與平面A₁BP所成的角為60度．
（3）

AF

=(0，

3

，-1)，

PF

=(-1，0，0)，
設(shè)平面A₁FP的法向量為

n2

=(x2，y2，z2)．
由

n2

⊥平面A₁FP知，

-2x2=0 3 y2-z2=0.

令y₂=1，得x2=0，z2=

3

，

n2

=(0，1，

3

)．cos＜

n1

，

n1

＞=

n1 • n2

| n1 |•| n2 |

=

3 ×0+1×1+2 3 × 3

( 3 )2+12+(2 3 )2 • 02+12+( 3 )2

=

7

8

，
所以二面角B-A₁P-F的余弦值是-

7

8

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成的角的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．