Question

20．已知橢圓$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（α＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)為F₁，F(xiàn)₂，離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，點(diǎn)M（1，0）與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)相互垂直．
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)直線(xiàn)l過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)F₂（l不垂直于坐標(biāo)軸），且與橢圓交干A，B兩點(diǎn)，線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)交x軸于點(diǎn)M（0，n），試求n的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用相互垂直的直線(xiàn)斜率之間的關(guān)系可得：-b×b=-1，解得b．又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得即可得出．
（2）F₂（1，0）．設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y=k（x-1），點(diǎn)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線(xiàn)段AB的中點(diǎn)D（x₀，y₀）．對(duì)k分類(lèi)討論：k≠0時(shí)，與橢圓方程聯(lián)立化為：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．利用根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)可得線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程，令x=0，可得n，再利用基本不等式的性質(zhì)即可得出．k=0時(shí)，直接得出．

解答 解：（1）橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)（0，±b）．
∵點(diǎn)M（1，0）與橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)的連線(xiàn)相互垂直，∴-b×b=-1，解得b=1．
又e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，a²=b²+c²，聯(lián)立解得：c=1，a=$\sqrt{2}$．
∴橢圓的方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}$=1．
（2）F₂（1，0）．
設(shè)直線(xiàn)l的方程為：y=k（x-1），點(diǎn)（x₁，y₁），B（x₂，y₂），線(xiàn)段AB的中點(diǎn)D（x₀，y₀）．
①k≠0時(shí)，聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=k（x-1）}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1}\end{array}\right.$，化為：（1+2k²）x²-4k²x+2k²-2=0．
∴x₁+x₂=$\frac{4{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，可得x₀=$\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，y₀=k（x₀-1）=$\frac{-k}{1+2{k}^{2}}$．
∴線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)的方程為：y+$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$=$-\frac{1}{k}$$（x-\frac{2{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}）$，令x=0，則n=$\frac{k}{1+2{k}^{2}}$，
k＞0時(shí)，n=$\frac{1}{\frac{1}{k}+2k}$≤$\frac{\sqrt{2}}{2}$，當(dāng)且僅當(dāng)k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$時(shí)取等號(hào)，此時(shí)n∈$（0，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．
同理可得：k＜0時(shí)，此時(shí)n∈$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，0）$．
②k=0時(shí)，n=0．
綜上可得：n∈$[-\frac{\sqrt{2}}{2}，\frac{\sqrt{2}}{2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線(xiàn)與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、基本不等式的性質(zhì)、線(xiàn)段的垂直平分線(xiàn)的性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．