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已知函數(shù)y=x+ $數(shù)學(xué)公式$ 有如下性質(zhì)：如果常數(shù)a＞0，那么該函數(shù)在（0， $數(shù)學(xué)公式$ ]上是減函數(shù)，在[ $數(shù)學(xué)公式$ ，+∞）上是增函數(shù)．
（1）如果函數(shù)y=x+ $數(shù)學(xué)公式$ （x＞0）的值域為[6，+∞），求b的值；
（2）研究函數(shù)y=x²+ $數(shù)學(xué)公式$ （常數(shù)c＞0）在定義域內(nèi)的單調(diào)性，并說明理由；
（3）對函數(shù)y=x+ $數(shù)學(xué)公式$ 和y=x²+ $數(shù)學(xué)公式$ （常數(shù)a＞0）作出推廣，使它們都是你所推廣的函數(shù)的特例．研究推廣后的函數(shù)的單調(diào)性（只須寫出結(jié)論，不必證明）．

解：（1）由函數(shù)y=x+ $\text{[math]}$ 性質(zhì)知：
當(dāng)x= $\text{[math]}$ 時，函數(shù)y=x+ $\text{[math]}$ （x＞0）的最小值是2 $\text{[math]}$ ，則2 $\text{[math]}$ =6，
解得b=log₂9．
（2）設(shè)0＜x₁＜x₂，
則y₂-y₁= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
當(dāng) $\text{[math]}$ ＜x₁＜x₂時，y₂＞y₁，函數(shù)y= $\text{[math]}$ 在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函數(shù)；
當(dāng)0＜x₁＜x₂＜ $\text{[math]}$ 時，y₂＜y₁，函數(shù)y= $\text{[math]}$ 在（0， $\text{[math]}$ ]上是減函數(shù)．
又y= $\text{[math]}$ 是偶函數(shù)，
所以該函數(shù)在（-∞，- $\text{[math]}$ ]上是減函數(shù)，在[- $\text{[math]}$ ，0）上是增函數(shù)；
（3）可以把函數(shù)推廣為y= $\text{[math]}$ （常數(shù)a＞0），其中n是正整數(shù)．
當(dāng)n是奇數(shù)時，函數(shù)y= $\text{[math]}$ 在（0， $\text{[math]}$ ]上是減函數(shù)，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函數(shù)，
在（-∞，- $\text{[math]}$ ]上是增函數(shù)，在[- $\text{[math]}$ ，0）上是減函數(shù)；
當(dāng)n是偶數(shù)時，函數(shù)y= $\text{[math]}$ 在（0， $\text{[math]}$ ]上是減函數(shù)，在[ $\text{[math]}$ ，+∞）上是增函數(shù)，
在（-∞，- $\text{[math]}$ ]上是減函數(shù)，在[- $\text{[math]}$ ，0）上是增函數(shù)．
分析：（1）由函數(shù)y=x+ $\text{[math]}$ 性質(zhì)可得y=x+ $\text{[math]}$ 的最小值，令其為6，解出可得b值；
（2）利用定義進行判斷：先研究函數(shù)在（0，+∞）上的單調(diào)性，設(shè)0＜x₁＜x₂，通過作差判斷y₂與y₁的大小，由單調(diào)性的定義即可作出判斷，再由偶函數(shù)的性質(zhì)可知函數(shù)在（-∞，0）的單調(diào)性；
（3）可以把函數(shù)推廣為y= $\text{[math]}$ （常數(shù)a＞0），其中n是正整數(shù)，當(dāng)n是奇數(shù)時類比y=x+ $\text{[math]}$ 的情形，當(dāng)n是偶數(shù)時類比y= $\text{[math]}$ 的情形，即可得到結(jié)論；
點評：本題考查函數(shù)單調(diào)性的判斷、證明及歸納推理，定義是判斷函數(shù)單調(diào)性的基本方法，要熟練掌握．

練習(xí)冊系列答案

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•武昌區(qū)模擬）已知點P在半徑為1的半圓周上沿著A→P→B路徑運動，設(shè)弧的長度為x，弓形面積為f（x）（如圖所示的陰影部分），則關(guān)于函數(shù)y=f（x）的有如下結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的定義域和值域都是[0，π]；
②如果函數(shù)y=f（x）的定義域R，則函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)；
③如果函數(shù)y=f（x）的定義域R，則函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]是單調(diào)遞增函數(shù)．
以上結(jié)論的正確個數(shù)是（　�。�

A．1

B．2

C．3

D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：湖北省武漢市武昌區(qū)2012屆高三5月調(diào)研考試數(shù)學(xué)文科試題 題型：013

已知點P在半徑為1的半圓周上沿著A→P→B路徑運動，設(shè)弧的長度為x，弓形面積為f(x)(如圖所示的陰影部分)，則關(guān)于函數(shù)y＝f(x)的有如下結(jié)論：

①函數(shù)y＝f(x)的定義域和值域都是[0，π]；

②如果函數(shù)y＝f(x)的定義域R，則函數(shù)y＝f(x)是周期函數(shù)；

③如果函數(shù)y＝f(x)的定義域R，則函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù)；

④函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上是單調(diào)遞增函數(shù)．

以上結(jié)論的正確個數(shù)是

[　　]

A．1

B．2

C．3

D．4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：單選題

已知點P在半徑為1的半圓周上沿著A→P→B路徑運動，設(shè)弧　的長度為x，弓形面積為f（x）（如圖所示的陰影部分），則關(guān)于函數(shù)y=f（x）的有如下結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的定義域和值域都是[0，π]；
②如果函數(shù)y=f（x）的定義域R，則函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)；
③如果函數(shù)y=f（x）的定義域R，則函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]是單調(diào)遞增函數(shù)．
以上結(jié)論的正確個數(shù)是

A.
1
B.
2
C.
3
D.
4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2012年湖北省武漢市武昌區(qū)高三五月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷（文科）（解析版） 題型：選擇題

已知點P在半徑為1的半圓周上沿著A→P→B路徑運動，設(shè)弧的長度為x，弓形面積為f（x）（如圖所示的陰影部分），則關(guān)于函數(shù)y=f（x）的有如下結(jié)論：
①函數(shù)y=f（x）的定義域和值域都是[0，π]；
②如果函數(shù)y=f（x）的定義域R，則函數(shù)y=f（x）是周期函數(shù)；
③如果函數(shù)y=f（x）的定義域R，則函數(shù)y=f（x）是奇函數(shù)；
④函數(shù)y=f（x）在區(qū)間[0，π]是單調(diào)遞增函數(shù)．
以上結(jié)論的正確個數(shù)是（）

A．1
B．2
C．3
D．4

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