【答案】
分析:(理科)(1)先對函數(shù)f(x)進(jìn)行求導(dǎo),然后令導(dǎo)函數(shù)大于0(或小于0)求出x的范圍,根據(jù)f′(x)>0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間,f′(x)<0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間,即可得到答案.
(2))處的切線的傾斜角為45°,得到f′(2)=1求出a的值代入到
中化簡,求出導(dǎo)函數(shù),因?yàn)楹瘮?shù)在(2,3)上總存在極值得到
解出m的范圍記即可;
(3)是近年來高考考查的熱點(diǎn)問題,即與函數(shù)結(jié)合證明不等式問題,常用的解題思路是利用前面的結(jié)論構(gòu)造函數(shù),利用函數(shù)的單調(diào)性,對于函數(shù)取單調(diào)區(qū)間上的正整數(shù)自變量n有某些結(jié)論成立,進(jìn)而解答出這類不等式問題的解.
(文科)(1)根據(jù)f(x)的圖象過原點(diǎn)求出c,根據(jù)x=-1是f(x)的極值點(diǎn),則f'(-1)=0,求出a,從而求出f(x)的解析式;
(2)根據(jù)x=-1是函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)f(x)的圖象的公共點(diǎn)建立f(-1)=g(-1),求出b與d關(guān)系,化簡g(x)=f(x)最后根據(jù)函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恒有含x=-1的三個(gè)不同交點(diǎn),求出b的范圍即可.
解答:解:(1)
,
當(dāng)a>0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1],減區(qū)間為[1,+∞);
當(dāng)a<0時(shí),f(x)的單調(diào)增區(qū)間為[1,+∞),減區(qū)間為(0,1];
當(dāng)a=0時(shí),f(x)不是單調(diào)函數(shù)
(2)因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)的圖象在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的傾斜角為45°,
所以f′(2)=1,所以a=-2,
,
,g′(x)=3x
2+(4+m)x-26
因?yàn)閷τ谌我獾膖∈[1,2],函數(shù)
在區(qū)間(t,3)上
總存在極值,所以只需
,解得
(3)令a=-1(或a=1)
此時(shí)f(x)=-lnx+x-3,
所以f(1)=-2,
由(1)知f(x)=-lnx+x-3,在[1,+∞)上單調(diào)遞增,
∴當(dāng)x∈(1,+∞)時(shí)f(x)>f(1),即-lnx+x-1>0,
∴l(xiāng)nx<x-1對一切x∈(1,+∞)成立,
∵n≥2,n∈N
*,
則有
,
∴要證ln(2
2+1)+ln(3
2+1)+ln(4
2+1)+…+ln(n
2+1)<1+2lnn!
即要證
,
而
=1-
<1.
(文科)(1)∵f(x)的圖象過原點(diǎn)
∴c=0,f'(x)=3ax
2+x-2
∵x=-1是f(x)的極值點(diǎn)
∴f'(-1)=3a-1-2=0,解得a=1
∴f(x)=x
3+
x
2-2x
(2)∵x=-1是函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)f(x)的圖象的公共點(diǎn)
∴f(-1)=g(-1)即d=
f(x)=x
3+
x
2-2x=
bx
2-x+
化簡得(x
2-1)(x-
+
)=0
∵函數(shù)g(x)的圖象與函數(shù)f(x)的圖象恒有含x=-1的三個(gè)不同交點(diǎn)
∴
≠±1
即b∈(-∞,-1)∪(-1,3)∪(3,+∞)
點(diǎn)評:此題是個(gè)難題.本題考查利用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)來求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,已知函數(shù)曲線上一點(diǎn)求曲線的切線方程即對函數(shù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義的考查,考查求導(dǎo)公式的掌握情況.含參數(shù)的數(shù)學(xué)問題的處理,構(gòu)造函數(shù)求解證明不等式問題.以及考查學(xué)生創(chuàng)造性的分析解決問題的能力.