Question

已知△ABC的面積為S，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．
（1）求cosA的值；
（2）若a，b，c成等差數(shù)列，求sinC的值．

Answer 1

解：（1）∵，
∴，即．…（2分）
代入sin²A+cos²A=1化簡整理，得．…（4分）
∵，可得cosA＞0，
∴角A是銳角，可得．…（6分）
（2）∵a，b，c成等差數(shù)列
∴2b=a+c，結(jié)合正弦定理得2sinB=sinA+sinC，
即2sin（A+C）=sinA+sinC，…（8分）
因此，可得2sinAcosC+2cosAsinC=sinA+sinC．①
由（1）得及，所以，…（10分）
代入①，整理得．
結(jié)合sin²C+cos²C=1進行整理，得65sin²C-8sinC-48=0，…（12分）
解之得或．
∵C∈（0，π），可得sinC＞0
∴（負值舍去）．…（14分）
分析：（1）根據(jù)數(shù)量積的定義和正弦定理關(guān)于面積的公式，化簡題中等式可得，結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可解出cosA的值；
（2）根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理化簡得2sinB=sinA+sinC，用三角內(nèi)角和定理進行三角恒等變換得到2sinAcosC+2cosAsinC=sinA+sinC．將（1）中算出的cosA、sinA的值代入，并結(jié)合同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，即可求出．
點評：本題在三角形ABC中給出，求角A的余弦，并在已知a，b，c成等差數(shù)列情況下求角C的正弦，著重考查了利用正、余弦定理解三角形和三角形的面積公式等知識，屬于基礎(chǔ)題．