【題目】(本小題滿分13分) 已知雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)為
的曲線C上.
(Ⅰ)求雙曲線C的方程;
(Ⅱ)記O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)Q(0,2)的直線l與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)E、F,若△OEF的面積為求直線l的方程
【答案】(Ⅰ) 雙曲線方程為(Ⅱ) 滿足條件的直線l有兩條,基方程分別為y=
和y=
【解析】
試題(1)由雙曲線焦點(diǎn)可得值,進(jìn)而可得到
的關(guān)系式,將點(diǎn)P代入雙曲線可得到
的關(guān)系式,解方程組可求得
值,從而確定雙曲線方程;(2)求直線方程采用待定系數(shù)法,首先設(shè)出方程的點(diǎn)斜式,與雙曲線聯(lián)立,求得相交的弦長(zhǎng)和O到直線的距離,代入面積公式可得到直線的斜率,求得直線方程
試題解析:(1)由已知及點(diǎn)
在雙曲線
上得
解得;所以,雙曲線
的方程為
.
(2)由題意直線的斜率存在,故設(shè)直線
的方程為
由 得
設(shè)直線
與雙曲線
交于
、
,則
、
是上方程的兩不等實(shí)根,
且
即
且
①
這時(shí) ,
又
即
所以 即
又
適合①式
所以,直線的方程為
與
.
另解:求出及原點(diǎn)
到直線
的距離
,利用
求解. 或求出直線
與
軸的交點(diǎn)
,利用
求解
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知橢圓的左右焦點(diǎn)分別為
,
上的動(dòng)點(diǎn)
到兩焦點(diǎn)的距離之和為4,當(dāng)點(diǎn)
運(yùn)動(dòng)到橢圓
的上頂點(diǎn)時(shí),直線
恰與以原點(diǎn)
為圓心,以橢圓
的離心率為半徑的圓相切.
(1)求橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的左右頂點(diǎn)分別為
,若
交直線
于
兩點(diǎn).問以
為直徑的圓是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo);若不過定點(diǎn),請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如下圖,過拋物線上一定點(diǎn)
,作兩條直線分別交拋物線于
,
.
(1)求該拋物線上縱坐標(biāo)為的點(diǎn)到其焦點(diǎn)
的距離;
(2)當(dāng)與
的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí),求
的值,并證明直線
的斜率是非零常數(shù).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)系中,曲線
的參數(shù)方程為
(
為參數(shù)),以原點(diǎn)
為極點(diǎn),
軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,曲線
的極坐標(biāo)方程為
(限定
).
(1)寫出曲線的極坐標(biāo)方程,并求
與
交點(diǎn)的極坐標(biāo);
(2)射線與曲線
與
分別交于點(diǎn)
(
異于原點(diǎn)),求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知函數(shù).
(1)討論函數(shù)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)時(shí),記函數(shù)
的極小值為
,若
恒成立,求滿足條件的最小整數(shù)
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知由自然數(shù)組成的元集合
,非空集合
,且對(duì)任意的
,都有
.
(1)當(dāng)時(shí),求所有滿足條件的集合
;
(2)當(dāng)時(shí),求所有滿足條件的集合
的元素總和;
(3)定義一個(gè)集合的“交替和”如下:按照遞減的次序重新排列該集合的元素,然后從最大數(shù)開始交替地減、加后繼的數(shù).例如集合的交替和是
,集合
的交替和為
.當(dāng)
時(shí),求所有滿足條件的集合
的“交替和”的總和.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】為了在夏季降溫和冬季供暖時(shí)減少能源損耗,房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑物要建造可使用20年的隔熱層,每厘米厚的隔熱層建造成本為6萬元。該建筑物每年的能源消耗費(fèi)用C(單位:萬元)與隔熱層厚度x(單位:cm)滿足關(guān)系:C(x)=若不建隔熱層,每年能源消耗費(fèi)用為8萬元。設(shè)f(x)為隔熱層建造費(fèi)用與20年的能源消耗費(fèi)用之和。
(Ⅰ)求k的值及f(x)的表達(dá)式。
(Ⅱ)隔熱層修建多厚時(shí),總費(fèi)用f(x)達(dá)到最小,并求最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖(1),等腰直角三角形的底邊
,點(diǎn)
在線段
上,
于
,現(xiàn)將
沿
折起到
的位置(如圖(2))
(1)求證:;
(2)若,直線
與平面
所成的角為
,求
長(zhǎng).
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