Question

設(shè)橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左、右焦點(diǎn)分別為F₁與F₂，直線y=x-1過(guò)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)F₂且與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，若△F₁PQ的周長(zhǎng)為4

2

．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設(shè)橢圓C經(jīng)過(guò)伸縮變換

x′= 2 2 x y′=y

變成曲線C'，直線l：y=kx+m與曲線C'相切且與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A、B，若

OA

•

OB

=λ，且

2

3

≤λ≤

3

4

，求△OAB面積的取值范圍．（O為坐標(biāo)原點(diǎn)）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)直線與x軸交點(diǎn)求得c，進(jìn)而根據(jù)橢圓的定義求得|PF₁|+|PF₂|=2a，|QF₁|+|QF₂|=2a，根據(jù)△F₁PQ的周長(zhǎng)求得a，則b可求得，進(jìn)而求得橢圓的方程．
（2）根據(jù)題意可求得曲線C'的方程，整理得圓的方程，根據(jù)直線l與圓相切求得原點(diǎn)到直線的距離進(jìn)而求得k和m的關(guān)系式，與橢圓方程聯(lián)立設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）根據(jù)判別式求得k的范圍，依據(jù)韋達(dá)定理表示出x₁+x₂和x₁x₂，進(jìn)而根據(jù)直線方程表示出y₁y₂，進(jìn)而根據(jù)m²=1+k²求得x₁+x₂和x₁x₂關(guān)于k的表達(dá)式，進(jìn)而求得

OA

•

OB

的表達(dá)式，根據(jù)λ的范圍確定k的范圍，根據(jù)弦長(zhǎng)公式表示出|AB|，根據(jù)k的范圍確定|AB|的范圍，進(jìn)而利用|AB|表示出△OAB面積求得△OAB面積的取值范圍．

解答：解：（1）依題意y=x-1與x軸交于點(diǎn)F₂（1，0）
即c=1．
又|PF₁|+|PF₂|=2a，|QF₁|+|QF₂|=2a
所以|PF₁|+|PQ|+|QF₁|=|PF₁|+|PF₂|+|QF₂|+|QF₁|=4a∴4a=4

2

，∴a=

2

，∴b²=a²-c²=1
所以橢圓C的方程為

x2

2

+y2=1.
（2）依題意曲線C'的方程為

( 2 x′)2

2

+y′2=1
即圓x'²+y'²=1．
因?yàn)橹本�l：y=kx+m與曲線C'相切，
所以

|m|

1+k2

=1，
即m²=k²+1．
由

y=kx+m x2 2 +y2=1

得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
所以△＞0，即k²＞0，
所以k≠0．
所以x1+x2=-

4km

1+2k2

，x1x2=

2m2-2

1+2k2

.
所以y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=

m2-2k2

1+2k2

又m²=1+k²
所以x1x2=

2k2

1+2k2

，y1y2=

1+k2

1+2k2

.
所以

OA

•

OB

=x1x2+y1y2=

1+k2

1+2k2

=λ
又

2

3

≤λ≤

3

4

所以

2

3

≤

1+k2

1+2k2

≤

3

4

，
所以

1

2

≤k2≤1.
又|AB|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

=2

2(k4+k2) 4(k4+k2)+1

設(shè)u=k⁴+k²
因?yàn)?span id="20cies2" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">

1

2

≤k2≤1，所以u∈[

3

4

，2]|AB=2

2u 4u+1

=2

1 2 - 1 2(4u+1)

在[

3

4

，2]上為遞增函數(shù)，
所以

6

2

≤|AB|≤

4

3

.
又O到AB的距離為1，
所以S△OAB=

1

2

|AB|•1=

1

2

|AB|∈[

6

4

，

2

3

].
即△OAB的面積的取值范圍為[

6

4

，

2

3

].

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了圓錐曲線的綜合性問(wèn)題，考查了直線與圓錐曲線的關(guān)系．考查了學(xué)生綜合分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力．