Question

一項試驗有兩套方案，每套方案試驗成功的概率都是，試驗不成功的概率都是甲隨機地從兩套方案中選取一套進行這項試驗，共試驗了 3次，每次實驗相互獨立，且要從兩套方案中等可能地選擇一套．
（I）求3次試驗都選擇了同一套方案且都試驗成功的概率：
（II）記3次試驗中，都選擇了第一套方案并試難成功的次數(shù)為X，求X的分布列和期望EX．

Answer 1

解：記事件“一次試驗中，選擇第i套方案并試驗成功”為A_i，i=1，2，則P（A_i）=×=．
（Ⅰ）3次試驗選擇了同一套方案且都試驗成功的概率
P=P（A₁•A₁•A₁+A₂•A₂•A₂）=（）³+（）³=．（4分）
（Ⅱ）X的可能值為0，1，2，3，則X～B（3，），
P（X=k）=C₃^k（）^k（）^3-k，k=0，1，2，3．（8分）
X的分布列為

X	0	1	2	3
P

EX=3×=1．（12分）
分析：記事件“一次試驗中，選擇第i套方案并試驗成功”為A_i，i=1，2，則P（A_i）=×=．
（Ⅰ）記事件“一次試驗中，選擇第i套方案并試驗成功”為A_i，i=1，2，則P（A_i）=×=．由此能求出3次試驗選擇了同一套方案且都試驗成功的概率．
（Ⅱ）X的可能值為0，1，2，3，則X～B（3，），P（X=k）=C₃^k（）^k（）^3-k，k=0，1，2，3．由此能求出X的分布列和期望．
點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，要合理運用二項分布的性質(zhì)進行解題．