Question

已知函數(shù)f（x）=ax²+bx+C（a＞b＞C）的圖象上有兩點(diǎn) A（m₁，f（m₁））、B（m₂，f（m₂）），且滿足 f（1）=0，a²+（f（m₁）+f（m₂））?a+f（m₁）•f（m₂）=0．
（1）求證：b≥0；
（2）求證：f（x）的圖象被x軸所截得的線段長(zhǎng)的取值范圍是[2，3）．

Answer 1

分析：（1）由a²+（f（m₁）+f（m₂））?a+f（m₁）•f（m₂）=0，解得f（m₁）=-a或f（m₂）=-a，解方程，由條件f（1）=0，得a+b+c=0，可用反證法來(lái)證明b≥0；
（2）由f（1）=0，可得（1，0）是f（x）的圖象與x軸的一個(gè)交點(diǎn)，由韋達(dá)定理及（1）中結(jié)論，確定出另一個(gè)根的范圍，進(jìn)而得到答案．

解答：解：（1）∵函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a＞b＞c），滿足f（1）=0，
∴a+b+c=0．
∵a＞b＞c，
∴a＞0，c＜0．．
∵a²+[f（m₁）+f（m₂）]•a+f（m₁）•f（m₂）=0，
∴[a+f（m₁）]•[a+f（m₂）]=0，
∴m₁，m₂是方程f（x）=-a的兩根，
∴△=b²-4a（a+c）=b（b+4a）=b（3a-c）≥0
而a＞0，c＜0，
∴3a-c＞0，
∴b≥0．
（2）設(shè)f（x）=ax²+bx+c=0兩根為x₁、x₂，
∵f（1）=0，
∴方程的一個(gè)根為1，另一根為

c

a

，
∵a＞b＞c，
且由上知b=-a-c≥0，
∴a＞-a-c≥0，
∴-2＜

c

a

≤-1，2≤|x1-x2|＜3．

點(diǎn)評(píng)：點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，及二次方程與二次函數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．