Question

20．已知函數(shù)f（x）=|x+a|+|x-3|（a∈R）．
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）≥x+8的解集；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的最小值為5，求a的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=1時，不等式即|x+1|+|x-3|≥x+8，分類討論去掉絕對值，分別求得它的解集，再取并集，即得所求．
（Ⅱ）由條件利用絕對值三角不等式求得f（x）的最小值，再根據(jù)f（x）的最小值為5，求得a的值．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）≥x+8，即|x+1|+|x-3|≥x+8，
若x＜-1，則有-x-1+3-x≥x+8，求得x≤-2．
若-1≤x≤3，則有x+1+3-x≥x+8，求得x≤-4，不滿足要求．
若x＞3，則有x+1+x-3≥x+8，求得x≥10．
綜上可得，x的范圍是{x|x≤-2或x≥10}．
（Ⅱ）∵f（x）=|x+a|+|x-3|=|x+a|+|3-x|≥|x+a+3-x|=|a+3|，
∴函數(shù)f（x）的最小值為|a+3|=5，∴a+3=5，或a+3=-5，
解得a=2，或a=-8．

點(diǎn)評 本題主要考查絕對值三角不等式，絕對值不等式的解法，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化、分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．