Question

8．設(shè)函數(shù)f（x）=|x-3|-|x+a|，其中a∈R．
（Ⅰ）當(dāng)a=2時(shí)，解不等式f（x）＜1；
（Ⅱ）若對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x）≤2a成立，求a的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通過(guò)討論x的范圍，解出各個(gè)階段上的x的范圍，取并集即可；
（Ⅱ）求出f（x）的最大值，問(wèn)題等價(jià)于|a+3|≤2a，解出即可．

解答 解：（Ⅰ）a=2時(shí)，f（x）＜1就是|x-3|-|x+2|＜1．
當(dāng)x＜-2時(shí)，3-x+x+2＜1，得5＜1，不成立；
當(dāng)-2≤x＜3時(shí)，3-x-x-2＜1，得x＞0，所以0＜x＜3；
當(dāng)x≥3時(shí)，x-3-x-2＜1，即-5＜1，恒成立，所以x≥3．
綜上可知，不等式f（x）＜1的解集是（0，+∞）．…（5分）
（Ⅱ） 因?yàn)閒（x）=|x-3|-|x+a|≤|（x-3）-（x+a）|=|a+3|，
所以f（x）的最大值為|a+3|．
對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，恒有f（x）≤2a成立等價(jià)于|a+3|≤2a．
當(dāng)a≥-3時(shí)，a+3≤2a，得a≥3；
當(dāng)a＜-3時(shí)，-a-3≤2a，a≥-1，不成立．
綜上，所求a的取值范圍是[3，+∞）…（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了解絕對(duì)值不等式問(wèn)題，考查分類討論思想，是一道中檔題．