【題目】如圖,在三棱錐P﹣ABC中,BC⊥平面APC,AB=2 ,AP=PC=CB=2.
(1)求證:AP⊥平面PBC;
(2)求二面角P﹣AB﹣C的大小.
【答案】
(1)證明:∵BC⊥平面APC,AC、AP平面APC,
∴BC⊥AP,BC⊥AC,
∵AB=2 ,CB=2,∴AC=2 ,
又∵AP=PC=2,∴AC2=PA2+PC2,故AP⊥PC,
∵PC∩BC=C,∴AP⊥平面PBC;
(2)解:∵BC⊥平面APC,∴平面APC⊥平面ABC,
在平面APC內(nèi)作PQ⊥AC于Q,則PQ⊥平面ABC,
過Q作QR⊥AB于R,連結(jié)PR,則∠PRQ即為二面角P﹣AB﹣C的平面角,
在RT△APC中,PQ= ,
在RT△ABC中,QR= ,
故 ,
從而二面角P﹣AB﹣C的大小為 .
【解析】(1)通過已知條件,可得AC2=PA2+PC2 , 進而可得AP⊥平面PBC;(2)在平面APC內(nèi)作PQ⊥AC于Q、過Q作QR⊥AB于R,連結(jié)PR,則∠PRQ即為二面角P﹣AB﹣C的平面角,計算即可.
【考點精析】根據(jù)題目的已知條件,利用直線與平面垂直的判定的相關(guān)知識可以得到問題的答案,需要掌握一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想.
科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】在△ABC中,角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,設(shè)向量 =(a, ), =(cosC,c﹣2b),且 ⊥ .
(Ⅰ)求角A的大。
(Ⅱ)若a=1,求△ABC的周長l的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,正三角形ABC的邊長為2,D、E、F分別在三邊AB,BC和CA上,且D為AB的中點,∠EDF=90°,∠BDE=θ(0°<θ<90°).
(1)當(dāng)tan∠DEF= 時,求θ的大。
(2)求△DEF的面積S的最小值及使得S取最小值時θ的值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知定義域為R的函數(shù)f(x)= 是奇函數(shù).
(1)求b的值;
(2)用定義法證明函數(shù)f(x)在R上是減函數(shù);
(3)若對任意的t∈R,不等式f(t2﹣2t)+f(2t2﹣k)<0恒成立,求k的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】如圖,直線l⊥平面α,垂足為O,已知△ABC中,∠ABC為直角,AB=2,BC=1,該直角三角形做符合以下條件的自由運動:(1)A∈l,(2)B∈α.則C、O兩點間的最大距離為 .
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某學(xué)校設(shè)有甲、乙兩個實驗班,為了了解班級成績,采用分層抽樣的方法從甲、乙兩班學(xué)生中分別抽取8名和6名測試他們的數(shù)學(xué)與英語成績(單位:分),用表示,下面是乙班6名學(xué)生的測試分數(shù): , , , , , ,當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)、英語成績滿足,且時,該學(xué)生定為優(yōu)秀生.
(Ⅰ)已知甲班共有80名學(xué)生,用上述樣本數(shù)估計乙班優(yōu)秀生的數(shù)量;
(Ⅱ)從乙班抽出的上述6名學(xué)生中隨機抽取3名,求至少有兩名為優(yōu)秀生的概率;
(Ⅲ)從乙班抽出的上述6名學(xué)生中隨機抽取2名,其中優(yōu)秀生數(shù)記為,求的分布列及其數(shù)學(xué)期望.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】某工廠利用輻射對食品進行滅菌消毒,現(xiàn)準(zhǔn)備在該廠附近建一職工宿舍,并對宿舍進行防輻射處理,建房防輻射材料的選用與宿舍到工廠距離有關(guān).若建造宿舍的所有費用p(萬元)和宿舍與工廠的距離x(km)的關(guān)系為:p= (0≤x≤8),若距離為1km時,宿舍建造費用為100萬元.為了交通方便,工廠與宿舍之間還要修一條道路,已知購置修路設(shè)備需5萬元,鋪設(shè)路面每公里成本為6萬元,設(shè)f(x)為建造宿舍與修路費用之和.
(1)求f(x)的表達式,并寫出其定義域;
(2)宿舍應(yīng)建在離工廠多遠處,可使總費用f(x)最小,并求最小值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】已知雙曲線,拋物線, 與有公共的焦點, 與在第一象限的公共點為,直線的傾斜角為,且,則關(guān)于雙曲線的離心率的說法正確的是()
A. 僅有兩個不同的離心率且 B. 僅有兩個不同的離心率且 C. 僅有一個離心率且 D. 僅有一個離心率且
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:
【題目】(20)(本小題滿分13分)
已知函數(shù),,其中是自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)令,討論的單調(diào)性并判斷有無極值,有極值時求出極值.
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