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4.已知橢圓方程x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為63,短軸長為2.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)直線l:y=kx+m(k≠0)與y軸的交點為A(點A不在橢圓外),且與橢圓交于兩個不同的點P,Q,PQ的中垂線恰好經(jīng)過橢圓的下端點B,且與線段PQ交于點C,求△ABC面積的最大值.

分析 (1)利用橢圓方程x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為63,短軸長為2,求出a,b,即可求橢圓的標準方程;
(2)求出PQ的中點坐標為(-32k,12),表示出△ABC面積,利用直線l:y=kx+m(k≠0)與y軸的交點為A(點A不在橢圓外),求出0≤k213,即可求出△ABC面積的最大值.

解答 解:(1)∵橢圓方程x2a2+y22=1(a>b>0)的離心率為63,短軸長為2,
ca=63,b=1,
∴a=3,
∴橢圓的標準方程為x23+y2=1;
(2)設(shè)P(x1,y1),Q(x2,y2),
直線l:y=kx+m(k≠0)代入x23+y2=1,整理可得(1+3k2)x2+6kmx+3m2-3=0
∴x1+x2=-6km1+3k2,x1x2=3m231+3k2,
∴PQ的中點坐標為(-3km1+3k2,m1+3k2),
∵PQ的中垂線恰好經(jīng)過橢圓的下端點B,
∴-1k=m1+3k2+13km1+3k2,
∴m=12+32k2
∴PQ的中點坐標為(-32k,12),
∵l:y=kx+m(k≠0)與y軸的交點為A(點A不在橢圓外),
∴-1≤12+32k2≤1,
∴0≤k213,
∴△ABC面積S=12(m+1)12=38(1+k2)≤12,當且僅當k2=13,△ABC面積的最大值為12

點評 本題考查橢圓的方程與性質(zhì),考查直線與橢圓的位置關(guān)系,考查三角形面積的計算,屬于中檔題.

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