Question

12．已知△ABC的面積為1，tanB=$\frac{1}{2}$，tanC=-2，求△ABC外接圓的面積以及△ABC的各邊長．

Answer 1

分析 由題意和三角函數(shù)公式可得sinB，cosB，sinC，cosC及sinA的值，再由三角形ABC的面積為1，分別解方程可得a，b，c，由正弦定理可得外接圓半徑，可得面積．

解答 解：∵在△ABC中tanB=$\frac{1}{2}$，tanC=-2，
∴由同角三角函數(shù)基本關(guān)系可得sinB=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
cosB=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，sinC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosC=-$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
∴sinA=sin（B+C）=sinBcosC+cosBsinC=$\frac{3}{5}$，
∵三角形ABC的面積為1，
∴$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{1}{2}$$\frac{{a}^{2}sinBsinC}{sinA}$=1，解得a=$\sqrt{3}$，
同理可：b=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，c=$\frac{2\sqrt{15}}{3}$．
∵2R=$\frac{a}{sinA}$=$\frac{5\sqrt{3}}{3}$，
∴外接圓的面積為πR²=$\frac{25π}{12}$．

點評 本題考查正弦定理、兩角和差的正弦公式、三角形的面積計算公式，屬中檔題．