Question

（2013•石家莊二模）選修4-5：不等式選講
設(shè)函數(shù)f（x）=lg（|x+1|+|x-a|-2），a∈R．
（Ⅰ）當a=-2時，求函數(shù)f（x）的定義域；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）的定義域為R，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=-2時，由函數(shù)解析式可得|x+1|+|x-a|-2＞0．令g（x）=|x+1|+|x-a|-2=

-2x-3 ， x≤-2 1 ，-2＜x＜-1 2x+3 ，x≥-1

．由g（x）＞0，求得 x的范圍，可得函數(shù)的定義域．
（Ⅱ）由題意可得，|x+1|+|x-a|＞2在R上恒成立，因為|x+1|+|x-a|≥|1+a|，可得|1+a|＞2，解得a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）當a=-2時，由函數(shù)f（x）=lg（|x+1|+|x-a|-2），可得|x+1|+|x-a|-2＞0．
令g（x）=|x+1|+|x-a|-2=

-2x-3 ， x≤-2 1 ，-2＜x＜-1 2x+3 ，x≥-1

．…（3分）
若g（x）＞0，則可得 x＜-

5

2

，或x＞-

1

2

．
所以，f（x）定義域為（-∞，-

5

2

）∪（-

1

2

，+∞）．…（5分）
（Ⅱ）由題意，|x+1|+|x-a|＞2在R上恒成立，因為|x+1|+|x-a|≥|1+a|，…（8分）
所以，|1+a|＞2，解得a＜-3，或a＞1，
故a的范圍為（-∞，-3）∪（1，+∞）．…（10分）

點評：本題主要考查絕對值的意義即絕對對值不等式的解法，求函數(shù)的定義域，函數(shù)的恒成立問題，屬于中檔題．