Question

水庫(kù)的蓄水量隨時(shí)間而變化，現(xiàn)用t表示時(shí)間，以月為單位，年初為起點(diǎn)，根據(jù)歷年數(shù)據(jù)，某水庫(kù)的蓄水量（單位：億立方米）關(guān)于t的近似函數(shù)關(guān)系式為：V_（t）=

(-t2+14t-40)e 1 4 t+50(0＜t≤10) 4(t-10)(3t-41)+50(10＜t≤12)

．
（1）該水庫(kù)的蓄水量小于50的時(shí)期稱為枯水期，以t表示第t月份（t=1，2，3，…，12），問(wèn)：同一年內(nèi)哪些月份是枯水期？
（2）求一年內(nèi)哪個(gè)月份該水庫(kù)的蓄水量最大，并求最大蓄水量．

Answer 1

考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問(wèn)題中的應(yīng)用,函數(shù)模型的選擇與應(yīng)用

專題：應(yīng)用題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）分段求出水庫(kù)的蓄求量小于50時(shí)x的取值范圍，注意實(shí)際問(wèn)題x要取整．
（2）一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量肯定不在枯水期，則V（t）的最大值只能在（4，10）內(nèi)達(dá)到，然后通過(guò)導(dǎo)數(shù)在給定區(qū)間上研究V（t）的最大值．

解答： 解：（1）當(dāng)0＜t≤10時(shí)，V(t)=(-t2+14t-40)e

1

4

t+50＜50，化簡(jiǎn)得t²-14t+40＞0，
∴t＜4或t＞10，又0＜t≤10，故0＜t＜4．----------------------------------------------------2分
當(dāng)10＜t≤12時(shí)，V（t）=4（t-10）（3t-41）+50＜50，化簡(jiǎn)得（t-10）（3t-41）＜0
∴10＜t＜

41

3

，又10＜t≤12，故10＜t≤12------------------------------------------------4分
綜上得，0＜t＜4或10＜t≤12-------------------------------------------------------------5分
故知枯水期為1月、2月、3月、11月、12月共5個(gè)月．---------------------------7分
（2）由（1）可知V（t）的最大值只能在[4，10]內(nèi)達(dá)到．--------------------------------8分
由V′(t)=e

t

4

(-

1

4

t2+

3t

2

+4)=-

1

4

e

t

4

(t+2)(t-8)------------------------------------9分
令V'（t）=0得t=8或t=-2（舍去）------------------------------------------------------10分
當(dāng)t變化時(shí)，V'（t）與V（t）的變化情況如下表

t	[4，8）	8	（8，10]
V'（t）	+	0	-
V（t）	↑	8e2+50	↓

------12分
由上表可知，V（t）在t=8時(shí)取得最大值8e²+50（億立方米）．------------------13分
故知一年內(nèi)該水庫(kù)的最大蓄水量是8e²+50億立方米．--------------------------------14分．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)和不等式等基本知識(shí)，考查用導(dǎo)數(shù)求最值和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題能力．