Question

（2012•寧國市模擬）已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1；a_n+1-a_n=1，n∈N^*．?dāng)?shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且S_n+b_n=2，n∈N^*．
（1）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）令數(shù)列{c_n}滿足c_n=a_n•b_n，求其前n項(xiàng)和為T_n．

Answer 1

分析：（1）數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1；根據(jù)S_n+b_n=2，再寫一式，兩式相減，化簡可得數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，從而可求數(shù)列的通項(xiàng)；
（2）由已知得：cn=n•

1

2n-1

，利用錯(cuò)位相減法求和即可．

解答：解：（1）由已知a₁=1；an+1-an=1，n∈N*，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)為1，公差為1．
∴其通項(xiàng)公式為a_n=n…（3分）
∵S_n+b_n=2，∴S_n+1+b_n+1=2，
兩式相減，化簡可得

bn+1

bn

=

1

2

，
∴數(shù)列{b_n}為等比數(shù)列，
又S₁+b₁=2，
∴b₁=1，
∴bn=

1

2n-1

…（7分）
（2）由已知得：cn=n•

1

2n-1

∴Tn=1+

2

2

+

3

22

+…+

n

2n-1

，
∴

1

2

Tn=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n-1

2n-1

+

n

2n

∴

1

2

Tn=1+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

-

n

2n

=

1- 1 2n

1- 1 2

-

n

2n

=2(1-

1

2n

)-

n

2n

…（11分）
∴Tn=4(1-

1

2n

)-

n

2n-1

=4-

2+n

2n-1

…（13分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)，考查數(shù)列的求和，解題的關(guān)鍵是確定數(shù)列為特殊數(shù)列，正確運(yùn)用通項(xiàng)及求和公式，屬于中檔題．