Question

(

x

+

1

x

)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)和是512，則展開式中常數(shù)項(xiàng)是

 

．

Answer 1

分析：觀察(

x

+

1

x

)n可知，展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為512，即C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_nⁿ=512，從而得n，利用二項(xiàng)展開式中的第r+1項(xiàng)，即通項(xiàng)公式Tr+1=c_n^r（

x

）^n-r（

1

x

）^r，將n代入，并整理，令x的次數(shù)為0，解出r，從而得解．

解答：解：由題意得C_n⁰+C_n¹+C_n²++C_nⁿ=512，
即2ⁿ=512，解得n=9．該二項(xiàng)展開式中的第r+1項(xiàng)為 Tr+1=

C

r 8

(

x

)9-r•(

1

x

)r=

C

r 8

•x

9-3r

2

令

9-3r

3

=0，得r=3，此時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為T₄=C₉³=84．
故答案為：84．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，課本中的典型題目，套用公式解題時(shí)，易出現(xiàn)計(jì)算錯(cuò)誤，二項(xiàng)式的考題難度相對(duì)較小，注意三基訓(xùn)練．