已知函數(shù)f(x)=cos2
x
2
-sin2
x
2
+sinx．
（I）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（II）當x0∈(0，
π
4
)且f(x0)=
4
2
5
時，求f(x0+
π
6
)的值．
分析：利用二倍角公式化簡cos2
x
2
-sin2
x
2
為cosx，再用兩角和的正弦公式化函數(shù)cosx+sinx為
2
sin(x+
π
4
)．
就是函數(shù)f（x）為
2
sin(x+
π
4
)（I）直接求出函數(shù)的周期；
（II）由f(x0)=
4
2
5
求得x0∈(0，
π
4
)，求出cos(x0+
π
4
)利用
2
sin(x0+
π
4
+
π
6
)=
2
sin[(x0+
π
4
)+
π
6
]
然后求出f(x0+
π
6
)的值．
解答：解：由題設有f（x）=cosx+sinx=
2
sin(x+
π
4
)．
（I）函數(shù)f（x）的最小正周期是T=2π．
（II）由f(x0)=
4
2
5
得
2
sin(x0+
π
4
)=
4
2
5
，即sin(x0+
π
4
)=
4
5
，
因為x0∈(0，
π
4
)，所以x0+
π
4
∈(
π
4
，
π
2
).
從而cos(x0+
π
4
)=
1-sin2(x0+
π
4
)
=
1-(
4
5
)2
=
3
5
.
于是f(x0+
π
6
)=
2
sin(x0+
π
4
+
π
6
)=
2
sin[(x0+
π
4
)+
π
6
]=
2
[sin(x0+
π
4
)cos
π
6
+cos(x0+
π
4
)sin
π
6
]=
2
(
4
5
×
3
2
+
3
5
×
1
2
)=
4
6
+3
2
10
.
點評：本題考查三角函數(shù)的周期性及其求法，同角三角函數(shù)基本關系的運用，兩角和與差的余弦函數(shù)，考查學生分析問題解決問題的能力．是中檔題．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
3
2
sin2x-
1
2
(cos2x-sin2x)-1
（1）求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期；
（2）設△ABC的內角A、B、C、的對邊分別為a、b、c，且c=
3
，f（C）=0，若向量
m
=(1， sinA)與向量
n
=(2，sinB)共線，求a，b．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•松江區(qū)二模）已知函數(shù)f(x)=
1，x＞0
0，x=0
-1，x＜0
，設F（x）=x2•f（x），則F（x）是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
(
1
2
)x-1，x≤0
ln(x+1)，x＞0
，若|f（x）|≥ax，則實數(shù)a的取值范圍為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
(c-1)2x，(x≥1)
(4-c)x+3，(x＜1)
的單調遞增區(qū)間為（-∞，+∞），則實數(shù)c的取值范圍是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
x2-ax+5，x＜1
1+
1
x
，x≥1
在定義域R上單調，則實數(shù)a的取值范圍為（　　）

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