Question

【題目】已知函數(shù)，，為自然對數(shù)的底數(shù)．

（1）當(dāng)時(shí)，判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù)并求出零點(diǎn)；

（2）若函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）只有一個(gè)零點(diǎn)，零點(diǎn)為0．（2）

【解析】

（1）對函數(shù)求導(dǎo)，令，對求導(dǎo)，顯然，可知的單調(diào)性，特殊點(diǎn)，可知的單調(diào)性且，即可判定零點(diǎn)個(gè)數(shù)和零點(diǎn)；

（2）函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，等價(jià)于方程有兩個(gè)根，利用分類討論思想，由（1）知，不合題意；當(dāng)時(shí)，討論的單調(diào)性，其中分界點(diǎn)和特殊點(diǎn)，通過構(gòu)建函數(shù)比較與大小可知，由零點(diǎn)的存在性定理可知，滿足，得此類情況下由兩個(gè)根；當(dāng)時(shí)，，無極值點(diǎn)；綜上可得答案.

（1）由題知：，令，，

當(dāng)，，所以在上單調(diào)遞減，

因?yàn)?/span>，所以在上單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，

所以，故只有一個(gè)零點(diǎn)，零點(diǎn)為0．

（2）函數(shù)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，，等價(jià)于方程有兩個(gè)根

由（1）知：不合題意，

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，，單調(diào)遞增且，，單調(diào)遞減；

又因?yàn)?/span>且，所以；

又因?yàn)?/span>，因?yàn)楹瘮?shù)，，，所以在上單調(diào)遞減

所以，及，所以存在，滿足，

所以，；，，，；

此時(shí)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，0，符合題意．

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>，；，；

所以；所以，在上單調(diào)遞減，

所以無極值點(diǎn)，不合題意；

綜上可得：．