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3.已知四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示,E是側(cè)棱PC上的動(dòng)點(diǎn).
(1)求證:BD⊥AE
(2)若點(diǎn)E為PC的中點(diǎn),求二面角D-AE-B的大�。�

分析 (1)由三視圖可知,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形,側(cè)棱PC⊥底面ABCD,且PC=2,推導(dǎo)出BD⊥AC,BD⊥PC,由此能證明BD⊥AE.
(2)法1:在平面DAE內(nèi),過點(diǎn)D作DF⊥AE于F,連結(jié)BF.推導(dǎo)了出Rt△ADE≌Rt△ABE,從而△ADF≌△ABF,進(jìn)而BF⊥AE.得到∠DFB為二面角D-AE-B的平面角,由此能求出二面角D-AE-B的大小.
法2:以點(diǎn)C為原點(diǎn),CD,CB,CP所在的直線分別為x,y,z軸,建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量法能求出二面角D-AE-B的大�。�

解答 (本題滿分12分)
解:(1)由三視圖可知,四棱錐P-ABCD的底面是邊長為1的正方形
側(cè)棱PC⊥底面ABCD,且PC=2.…(1分)連結(jié)AC,
∵ABCD是正方形,∴BD⊥AC.…(2分)
∵PC⊥底面ABCD,且BD?平面ABCD,∴BD⊥PC.…(3分)
又∵AC∩PC=C,∴BD⊥平面PAC.…(4分)
∵AE?平面PAC.∴BD⊥AE.…(5分)
(2)解法1:在平面DAE內(nèi)過點(diǎn)D作DF⊥AE于F,連結(jié)BF.
∵AD=AB=1,DE=BE=12+12=2,AE=AE=3
∴Rt△ADE≌Rt△ABE,
從而△ADF≌△ABF,∴BF⊥AE.
∴∠DFB為二面角D-AE-B的平面角. …(7分)
在Rt△ADE中,DF=ADDEAE=1×23=63,∴BF=63.…(9分)
又BD=2,在△DFB中,由余弦定理得
cos∠DFB=DF2+BF2BD22DFBF=-12,…(11分)
∴∠DFB=2π3,即二面角D-AE-B的大小為2π3.…(12分)
解法2:如圖,以點(diǎn)C為原點(diǎn),CD,CB,CP所在的直線分別為x,y,z軸,
建立空間直角坐標(biāo)系.
則D(1,0,0),A(1,1,0),B(0,1,0),E(0,0,1),…(6分)
從而DA=(0,1,0),DE=(-1,0,1),BA=(1,0,0),BE=(0,-1,1).
設(shè)平面ADE和平面ABE的法向量分別為n=(x,y,z),m=(a,b,c),
{nDA=y=0nDE=x+z=0,取x=1,得n=(1,0,1),
{mBA=a=0mBE=x+z=0,取m=(0,-1,-1),…(9分)
設(shè)二面角D-AE-B的平面角為θ,
則cosθ=mn|m||n|=122=-12,…(11分)
∴θ=2π3,即二面角D-AE-B的大小為2π3.…(12分)

點(diǎn)評 本題考查異面直線垂直的證明,考查二面角的大小的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意空間思維能力的培養(yǎng).

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