Question

9．設(shè)S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和，已知a₁=3，a_n+1=2S_n+3（n∈N）
（I）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）令b_n=（2n-1）a_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （I）利用遞推關(guān)系與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出；
（II）利用“錯(cuò)位相減法”與等比數(shù)列的其前n項(xiàng)和公式即可得出．

解答 解：（I）∵a_n+1=2S_n+3，∴當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=2S_n-1+3，
∴a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，化為a_n+1=3a_n．
∴數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為3，公比為3．
∴a_n=3ⁿ．
（II）b_n=（2n-1）a_n=（2n-1）•3ⁿ，
∴數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n=3+3×3²+5×3³+…+（2n-1）•3ⁿ，
3T_n=3²+3×3³+…+（2n-3）•3ⁿ+（2n-1）•3ⁿ⁺¹，
∴-2T_n=3+2（3²+3³+…+3ⁿ）-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=$2×\frac{3（{3}^{n}-1）}{3-1}$-3-（2n-1）•3ⁿ⁺¹=（2-2n）•3ⁿ⁺¹-6，
∴T_n=（n-1）•3ⁿ⁺¹+3．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了“錯(cuò)位相減法”、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其前n項(xiàng)和公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．