Question

已知定義在R上的函數(shù)y=f（x）和y=g（x），則“y=f（x）和y=g（x）都是奇函數(shù)”是“y=f（x）+g（x）是奇函數(shù)”的條件．

1. A.
   充分不必要
2. B.
   必要不充分
3. C.
   充要
4. D.
   既不充分也不必要

Answer 1

A
分析：當(dāng)“y=f（x）和y=g（x）都是奇函數(shù)”，由奇函數(shù)的定義可證“y=f（x）+g（x）是奇函數(shù)”；但由“y=f（x）+g（x）是奇函數(shù)”不能推出“y=f（x）和y=g（x）都是奇函數(shù)”，可通過反例來說明．
解答：因?yàn)椤皔=f（x）和y=g（x）都是奇函數(shù)”，所以f（-x）=-f（x），g（-x）=-g（x），
所以f（-x）+g（-x）=-f（x）-g（x）=-[f（x）+g（x）]，即“y=f（x）+g（x）是奇函數(shù)”，
故由“y=f（x）和y=g（x）都是奇函數(shù)”可推得“y=f（x）+g（x）是奇函數(shù)”；
但由“y=f（x）+g（x）是奇函數(shù)”不能推出“y=f（x）和y=g（x）都是奇函數(shù)”，
如，f（x）=x-x²，g（x）=x+x²，顯然有f（x）+g（x）=2x為奇函數(shù)，但f（x）、g（x）均不是奇函數(shù)．
故“y=f（x）和y=g（x）都是奇函數(shù)”是“y=f（x）+g（x）是奇函數(shù)”的充分不必要條件．
故選A
點(diǎn)評(píng)：本題為充要條件的判斷，熟練掌握函數(shù)的奇偶性是解決問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．