Question

如圖，在等腰梯形PDCB中，PB=3，DC=1，PD=BC=

2

，A為PB邊上一點(diǎn)，且PA=1，將△PAD沿AD折起，使平面PAD⊥平面ABCD．

（1）求證：平面PAD⊥平面PCD；
（2）試在PB上找一點(diǎn)M，使截面AMC把幾何體分成兩部分，且VM-ACB=

1

3

VP-ABCD；
（3）在（2）的條件下，判斷AM是否平行于平面PCD．

Answer 1

分析：（1）先由平面PAD⊥平面ABCD?DC⊥平面PAD?平面PAD⊥平面PCD即可．
（2）因?yàn)镾△ABC=

1

3

S_ABCD且VM-ACB=

1

3

VP-ABCD；所以對(duì)應(yīng)高之比為

1

2

，所以可得M為PB中點(diǎn)．
（3）用反證法證之；若AM∥平面PCD?平面ABM∥平面PCD?與平面ABM與平面PCD有公共點(diǎn)P矛盾．即可．

解答：解：（1）證明：依題意知CD⊥AD，
又∵平面PAD⊥平面ABCD，
∴DC⊥平面PAD
又DC?平面PCD，
∴平面PAD⊥平面PCD．（4分）
（2）解：∵VM-ACB=

1

3

VP-ABCD，（6分）
設(shè)P、M到底面ABCD的距離分別為h、h_M，
則

1

3

•S△ABC•hM=

1

3

•(

1

3

SABCD)•h?

1

3

•

2

3

SABCD•hM=

1

3

•(

1

3

SABCD)•h
∴hM=

1

2

h，
∴M為PB中點(diǎn)．（8分）
（3）∵AB∥CD，AB?平面PCD，CD?平面PCD，
∴AB∥平面PCD（10分）
若AM∥平面PCD，∵AB∩AM=A，
∴平面ABM∥平面PCD
這與平面ABM與平面PCD有公共點(diǎn)P矛盾
∴AM與平面PCD不平行（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面和平面垂直的判定和性質(zhì)．在證明面面垂直時(shí)，其常用方法是在其中一個(gè)平面內(nèi)找兩條相交直線和另一平面內(nèi)的某一條直線垂直