函數(shù)f(x)的定義域為D={x|x≠0},且滿足對于任意x1,x2∈D,有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2).
(1)求f(1)的值;
(2)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(3)如果f(4)=1,f(3x+4)≤3,且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),求x的取值范圍.
分析:(1)對于任意x1,x2∈D,有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2).
令x1=x2=1,可求f(1)
(2)由(1)賦值可求f(-1)=0,進而可求f(-1×x)=f(-x)=f(1)+f(x)=f(x),可得f(x)為偶函數(shù)
(3)由已知f(4)=1可求得,f(64)=f(16×4)=f(16)+f(4)=f(4×4)+f(4)=3f(4)=3,由f(3x+4)≤3=f(64)及f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)可得|3x+4|≤64解不等式可求
解答:解:(1)對于任意x1,x2∈D,有f(x1•x2)=f(x1)+f(x2).
令x1=x2=1,f(1)=f(1)+f(1)=2f(1)
∴f(1)=0
(2)∵f[(-1)×(-1)]=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=0
∴f(-1)=0
則f(-1×x)=f(-x)=f(1)+f(x)=f(x)
∴f(x)為偶函數(shù)
(3)∵f(4)=1
∴f(64)=f(16×4)=f(16)+f(4)=f(4×4)+f(4)=3f(4)=3
∴f(3x+4)≤3=f(64)
∵f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)
∴|3x+4|≤64
∴-64≤3x+4≤64
-
68
3
≤x≤20
點評:對于抽象函數(shù)的函數(shù)值的求解一般采用賦值法,而對抽象函數(shù)的單調性的求解可以利用函數(shù)的單調性的定義,結合賦值法可求.
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函數(shù)f(x)的定義域為{x|x≠0},且滿足對于定義域內任意的x1,x2都有等式f(x1•x2)=f(x1)+f(x2
(Ⅰ)求f(1)的值;
(Ⅱ)判斷f(x)的奇偶性并證明;
(Ⅲ)若f(2)=1,且f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),解關于x的不等式f(2x-1)-3≤0.

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12
(3-x)
]的定義域為
 

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已知a>0且a≠1,函數(shù)f(x)=loga(x+1),g(x)=loga
11-x
,記F(x)=2f(x)+g(x)
(1)求函數(shù)F(x)的定義域D及其零點;
(2)試討論函數(shù)F(x)在定義域D上的單調性;
(3)若關于x的方程F(x)-2m2+3m+5=0在區(qū)間[0,1)內僅有一解,求實數(shù)m的取值范圍.

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若函數(shù)f(x)的定義域為[-1,2],則函數(shù)
f(x+2)
x
的定義域為( 。
A、[-1,0)∪(0,2]
B、[-3,0)
C、[1,4]
D、(0,2]

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