(本題滿分14分)如圖,已知平面平面分別是棱長為1與2的正三角形,//,四邊形為直角梯形,//,,點的重心,中點,,

(Ⅰ)當時,求證://平面

(Ⅱ)若直線所成角為,試求二面角的余弦值.

 

【答案】

(Ⅰ)見解析;(Ⅱ)二面角的余弦值.

【解析】(1)只須證:連接AG并延長交CE于P點,連接PB,PD,易證NPDF為平行四邊形,然后根據(jù)平行線分分段成比例關系證DM//PF即可.

(2) 由于本小題建系比較容易,所以易采用空間向量法求二面角即可.先求出二面角兩個面的法向量,然后根據(jù)法向量的夾角與二面角相等或互補進行計算.

(Ⅰ)連延長交,

因為點的重心,所以

,所以,所以//;

因為//,//,所以平面//平面,

分別是棱長為1與2的正三角形,

中點,中點, //,又//,

所以//,得四點共面

//平面

(Ⅱ)平面平面,易得平面平面,

為原點,為x軸,為y軸,為z軸建立空間直角坐標系,

,設,

,

,

因為所成角為,所以,

,,,

設平面的法向量,則,取

的法向量,

所以二面角的余弦值.

 

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