已知數(shù)列﹛an﹜的前n項(xiàng)和Sn=
(n+1)an
2
,且=1,設(shè)Cn=
an
an+1
+
an+1
an
,數(shù)列﹛Cn﹜的前n項(xiàng)和為Tn
(1)求數(shù)列﹛an﹜的通項(xiàng)公式;
(2)求證:對(duì)任意正整數(shù)n,不等式2n<Tn<2n+1恒成立.
考點(diǎn):數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列遞推式
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:(1)由題意利用公式法即可求得
an
an-1
=
n
n-1
,再由累乘法得出數(shù)列的通項(xiàng)公式;
(2)由(1)得Cn=
an
an+1
+
an+1
an
=
n
n+1
+
n+1
n
=2+
1
n
-
1
n+1
,利用裂項(xiàng)法求得Tn=2n+1-
1
n+1
,即可得出證明.
解答: 解:(1)∵Sn=
(n+1)an
2

∴2sn=(n+1)an,①
n≥2時(shí),2sn-1=nan-1,②
∴由①-②得,2an=(n+1)an-nan-1,
an
an-1
=
n
n-1
,
∴an=a1
a2
a1
an
an-1
=1×
2
1
×
3
2
×…×
n
n-1
=n,
∴an=n.
(2)由(1)得Cn=
an
an+1
+
an+1
an
=
n
n+1
+
n+1
n
=2+
1
n
-
1
n+1
,
∴Tn=c1+c2+…+cn=2n+1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
=2n+1-
1
n+1
,
∵0<1-
1
n+1
=
n
n+1
<1,
∴2n<Tn<2n+1.
點(diǎn)評(píng):本題主要考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法及裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和等知識(shí),考查學(xué)生的運(yùn)算求解能力,屬于中檔題.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知集合A={1,2,3,4},B={3,4,5,6},求:
(1)A∪B,A∩B;
(2)已知全集I={1,2,3,4,5,6,7},求∁IA,∁IB.

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